Математическая энциклопедия - порядковое число

, трансфинитное число, ординальное число, ординал, порядковый тип вполне упорядоченного множества. Понятие П. ч. ввел Г. Кантор (G. Cantor, 1883, см. [2]). Напр., П. ч. множества натуральных чисел, упорядоченного отношением , есть w. П. ч. множества, состоящего из числа 1 и чисел вида , если n=1, 2, . . ., упорядоченного отношением , есть w+1. Говорят, что П. ч. а равно (меньше) П. ч. р, и пишут a=b(a<b), если множество типа а подобно множеству (отрезку) типа b Для произвольных П. ч. a и b выполняется одна и только одна из возможностей a<b, a=b, a>b Множество {b : b<a} всех П. ч., меньших a, вполне упорядочено по типу a отношением . Более того, каждое множество П. ч. вполне упорядочено отношением , т. е. в каждом непустом множестве П. ч. есть наименьшее П. ч. Для каждого множества ZП. ч. существует П. ч., превосходящее каждое П. ч. из Z. Таким образом, не существует множества всех П. ч. Наименьшее среди П. ч., следующих за П. ч. a, наз. последователем a и обозначается a+1. П. ч. a наз. предшественником П. ч. a+1. П. ч. наз. предельным числом, если оно не имеет предшественника. Таким образом, 0 предельное число. Каждое П. ч. можно представить в виде a=l+n, где l предельное число, п - натуральное, а сумма понимается как сложение порядковых типов.

Трансфинитной последовательностью типа a, или a-последовательностью, наз. функция j, определенная на Если значениями этой последовательности служат П. ч. и из следует , то эта последовательность наз. возрастающей. Пусть j обозначает l-последовательность, где l, предельное число. Наименьшее среди П. ч., больших каждого из чисел j(g), где g<l наз. пределом последовательности j(g) для g<l и обозначается . Напр., w . П. ч. l, конфинально предельному числу a, если l, является пределом возрастающей a-последовательности:

П. ч. наз. регулярным, если оно не конфинально никакому меньшему П. ч., и сингулярным в противном случае. П. ч. наз. начальным П. ч., мощности t, если.