Математическая энциклопедия - порядковая статистика

-член вариационного ряда, построенного по результатам наблюдений. Пусть наблюдается случайный вектор Х=( Х 1, Х 2, ..., Х п), принимающий значения х=( х 1, х 2, . . ., х п).в n-мерном евклидовом пространстве , и пусть в задана функция , определенная по следующему правилу:

где вектор из , полученный из вектора хв результате перестановки его координат х 1, х 2, ..., х n в возрастающем порядке, т. е. компоненты x(nl), x(n2) ,..., х ( пп) вектора удовлетворяют следующему соотношению

(1)

В этом случае статистика наз. вариационным рядом (или вектором) порядковых статистик, а ее k-я компонента Xnk(k=1, 2, ..., n) наз. k-й порядковой статистикой.

В теории П. с. наиболее полно изучен случай, когда компоненты X1, Х 2, ..., Х п случайного вектора Xсуть независимые одинаково распределенные случайные величины, что в дальнейшем и будет предполагаться. Если F(и) - функция распределения случайной величины Xi, i=l, 2, . . ., п, то функция распределения Fnk(u) k -й П. с. Х (nk) вычисляется по формуле

(2) где

неполная бета-функция. Из (2) следует, что если функция распределения F(и).имеет плотность вероятности f(u), то плотность вероятности fnk (и) k- йП. с.

Х (nk), k=1,2, . . ., п, тоже существует и выражается формулой

(3)

В предположении существования плотности f (и).была получена совместная плотность вероятности П. с. Х (nr1), Х (nr2),..., Х (nrk),

, к-рая выражается формулой

(4)

Формулы (2) (4) позволяют, напр., найти распределение вероятностей т. н. экстремальных П. с.

а также распределение статистики Wn= Х (nn)-X(n1), к-рую наз. размахом. Напр., если функция распределения F(и).непрерывна, то функция распределения размаха Wn выражается формулой

(5)

Формулы (2) (5) показывают, что, как и в общей теории выборочных методов, точные распределения П. с. невозможно использовать при получении статистич. выводов, если функция распределения F(и).неизвестна. Именно поэтому в теории П. с. получили широкое развитие асимптотич. методы исследования распределений П. с. при неограниченном увеличении размерности ге вектора наблюдений. В асимптотич. теории П. с. изучаются предельные распределения соответствующим образом нормированных последовательностей П. с. { Х (nk)}, когда ; при этом, вообще говоря, порядковый номер kможет меняться в зависимости от ге. Если с ростом ппорядковый номер kменяется таким образом, что существует , отличный от О и 1, то соответствующие П. с. Х (nk) рассматриваемой последовательности { Х (nk)}. наз. центральными или средними П. с. Если же равен 0 или 1, то П. с. Х (nk) наз. крайними.

В математич. статистике центральные П. с. используют при построении состоятельных последовательностей оценок для квантилей неизвестной функции распределения F(и).по реализации случайного вектора Xили, иначе говоря, при оценивании функции F^-1(u). Напр., пусть х р- квантиль уровня Р(0<Р<1) функции распределения F(u), про к-рую известно, что ее плотность вероятности f(u).непрерывна и строго положительна в нек-рой окрестности точки х р. В этом случае последовательность центральных П. с. { Х (nk)} с порядковыми номерами k=[(n+1) Р+0,5], где [а] - целая часть действительного числа а, является состоятельной последовательностью оценок для квантили х р,. Более того, эта последовательность П. с. { Х (nk)}асимптотически нормально распределена с параметрами

т. е. для любого действительного числа х

(6)

где Ф (х) - функция распределения стандартного нормального закона.