Математическая энциклопедия - порядковый тип

линейно упорядоченного множества А - свойство множества А, к-рое присуще любому линейно упорядоченному множеству В, подобному А. При этом два множества Аи В, линейно упорядоченные соотношениями R и S, наз. подобными, если существует функция f, взаимно однозначно отображающая Ана Ви такая, что для любых точек выполнено xRyf(x)Sf(y). Г. Кантор (G. Cantor) определял П. т. как такое свойство линейно упорядоченного множества, к-рое остается, если отвлечься лишь от свойств элементов этого множества, но не от их порядка. Чтобы подчеркнуть, что проведен один этот акт абстракции, Г. Кантор для обозначения П. т. множества Аввел символ . Для часто встречающихся множеств их П. т. обозначается специальными буквами. Напр., если множество всех натуральных чисел, упорядоченное отношением , то . Если множество всех рациональных чисел, также упорядоченное отношением , то . Линейно упорядоченное множество Аимеет тип w тогда и только тогда, когда: (1)Аимеет первый элемент а 0, (2) каждый элемент хмножества Аимеет последующий x+l, (З) если и множество Xсодержит последователь каждого своего элемента, то Х=А. Существует только один П. т. h. непустых множеств, плотных, счетных, не имеющих ни первого, ни последнего элемента (теорема Кантора). Линейно упорядоченное множество имеет П. т. l множества всех действительных чисел, если оно непрерывно и содержит плотное в нем подмножество А, П. т. к-рого есть h, имеющее с ним общее начало и общий конец. Доказана независимость в системе аксиом (ZF) Суслина проблемы, см. [1].

Для П. т. определяются операции, до нек-рой степени аналогичные арифметич. операциям.

Пусть a и b два П. т., A и В - такие два линейно упорядоченные множества, что и . Суммой a+b наз. П. т. , где множество упорядочено так, что все элементы множества Апредшествуют всем элементам множества В, а в каждом из множеств А к В порядок сохраняется. В частности, если a и b натуральные числа, то определение суммы П. т. совпадает с определением суммы натуральных чисел. Имеют место равенства (a+b)+g=a+(b+g) и a+0=a=0+a, где 0 Н. т. пустого множества. Закон коммутативности в общем случае не выполняется, напр.

Пусть . Произведением наз. П. т. , где множество упорядочено так, что если { х, у},{xl, y1} два его элемента, то первый элемент предшествует второму, когда y<y1 или (в случае совпадения ординат) х<.х 1 (принцип последних различных членов). Имеют место равенства

, где 1 П. т. одноэлементного множества. Умножение, как и сложение, некоммутативно. Напр., . Закон дистрибутивности выполняется: Произведение представляет непрерывный П. т. мощности континуума, не содержащий счетного плотного подмножества.

С суммой и произведением П. т. тесно связаны сумма произвольного упорядоченного множества П. т. и лексикографич. произведение вполне упорядоченного множества П. т. Пусть семейство линейно упорядоченных множеств, индексированное вполне упорядоченным множеством М, и декартово произведение этого семейства.

Лексикографическим произведением семейства наз. множество А, наделенное следующим порядком. Если { а т}и {b т}элементы из А, то { а т}<{b т}тогда и только тогда, когда или a1<b1 или существует такое, что а т=b т для всех m<m0 и am0<bm0 (принцип первых различных членов). Если a т=А т и А - лексикографич. произведение семейства , то наз. произведением семейства П. т. . С помощью лексикографич. произведения и обобщенной континуум-гипотезы построено для каждого кардинального числаt такое линейно упорядоченное множество ht мощности t, что каждое линейно упорядоченное множество мощности подобно нек-рому подмножеству множества ht. Если t является сильно недостижимым кардинальным числом, то обобщенная континуум-гипотеза для доказательства этой теоремы не нужна. В частности, для таким множеством является любое линейно упорядоченное множество П. т. h.

Лит.:[1] Иех Т., Теория множеств и метод форсинга, пер. с англ., М., 1973. Б. А. Ефимов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985