Математическая энциклопедия - правильная линейная система

обыкновенных дифференциальных уравнений система вида

(1)

(где суммируемое на каждом отрезке отображение , обладающая свойством:

существует и равен , где Ляпунова, характеристические показатели системы (1). Для того чтобы треугольная система

была правильной, необходимо и достаточно, чтобы Существовали пределы

(критерий Ляпунова). Всякая приводимая линейная система и всякая почти приводимая линейная система являются правильными.

Роль понятия П. л. с. проясняется на следующей теореме Ляпунова. Пусть система (1) правильная и k ее характеристич. показателей Ляпунова отрицательны:

Тогда для всякой системы

(2)

где g(t, x).удовлетворяет следующим условиям: g, g'x непрерывны, , где e=const>0, найдется k-мерное многообразие , содержащее точку х=0, такое, что всякое решение x(t).системы (2), начинающееся на V^k (то есть ), экспоненциально убывает при , точнее удовлетворяет неравенству

(для всякого d>0 при нек-ром С d).

Лит.:[1] Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, Хар., 1892 (то же, в кн.: Собр. соч., т. 2, М.Л., 1956); [2] Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Г р обман Д. М., Немыцкий В. В., Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966; [3] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с 71 -146 В. М. Миллионщиков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985