Математическая энциклопедия - пуассона скобки

дифференциальное выражение

, (1)

зависящее от двух функций u(q, р). и v(q, р) 2п переменных q=(q1 ,. . ., qn), p=(p1, . . ., р n). Введены С. Пуассоном [1]. П. с.частный: случай Якоби скобок. П. с. есть билинейная форма от функций и, v, причем

и имеет место тождество Якоби (см. [2])

(u,(v, w)) +(v,(w, u)) +(w,(u, v))=0.

П. с. применяются в теории дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка и являются удобным математич. аппаратом в аналитич. механике (см. [3]-[5]). Напр., если q, р - канонич. переменные и дано преобразование

Q = Q(q, р), P = P(q, р), (2)

где Q=(Q1, . . ., Qn), P=(P1, . . ., Р п). и (n Х n)-матрицы

( Р, Р),(Q, Q),(Q, Р).(3)

составлены из элементов (Pi, Pj),(Qi, Qj),(Qi, Pj).соответственно, то (2) является канонич. преобразованием тогда и только тогда, когда первые две матрицы в (3) нулевые, а третья единичная.

П. с., вычисленные для случая, когда в (1) u и v замещены какой-либо парой координатных функций от q, р, наз. фундаментальными скобками.

Лит.:[1] Poisson S., "J. Ecole polytechn.", 1809, t. 8, p. 266-344; [2] Jacobi C., "J. reine und angew. Math.", 1862, Bd 60, S. 1-181; [З] Уиттекер Е. Т., Аналитическая динамика, пер. с англ., М.Л., 1937; [4] Лурье А. И., Аналитическая механика, М., 1961; [5] Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1975. А. П. Солдатов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985