Математическая энциклопедия - пуассона интеграл

интегральное представление решения Дирихле задачи для Лапласа уравнения в простейших областях. Так, П. и. для шара Bn (0, R).евклидова пространства , радиуса Rс центром в начале координат имеет вид

(1)

где f(у) - данная непрерывная функция на сфере Sn(0, R).радиуса R,

ядро Пуассона для шара, sn= =np^n/2R^n-1/Г(n/2+1) площадь сферы Sn(0, R), dSn - элемент площади Sn(0, R).

С. Пуассон [1] пришел к формуле (1) в случае n=2 как к интегральной форме записи суммы тригонометрии, ряда

где ak, bk коэффициенты Фурье функции f(y)=f(e^lj),(r,q) и (1, j)полярные координаты соответственно точек х=rе ^iq и y= е ^iq, когда ядро Пуассона имеет вид

(2)

(о применениях П. и. в теории тригонометрич. рядов см. [3], а также Абеля Пуассона метод суммирования).

П. и. для полупространства

имеет вид

(3)

где

элемент площади , f (у) - ограниченная непрерывная функция на ,

ядро Пуассона для полупространства. Формулы (1) и (3) суть частные случаи формулы Грина

(4)

дающей решение задачи Дирихле для областей с гладкой границей Г при помощи производной dG(x, y)/dny функции Грина G(x, у )по направлению внутренней нормали к Г в точке . Иногда формулу (4) также наз. П. и.

Основные свойства П. и.: 1) и(х).есть гармонич. функция координат точки х;2) П. и. дает решение задачи Дирихле с граничными данными f(у).в классе (ограниченных) гармонич. функций, т. е. функция и(х), продолженная на границу области значениями f(y), непрерывна в замкнутой области. На этих свойствах основаны применения П. и. в классической математич. физике (см. [4]).

П. и., понимаемый в смысле Лебега, от суммируемой функции f(y), напр, на Sn(0, R), наз. интегралом Пуассона Лебега; интеграл вида

(5)

по произвольной конечной борелевской мере m, сосредоточенной на Sn(0, R), наз. интегралом Пуассона Стилтьеса. Класс Агармонич. функций и(х), представимых интегралом (5), характеризуется тем, что любая функция есть разность двух неотрицательных гармонич. функций в В п(0, R). Класс функций, представимых интегралом Пуассона Лебега, есть правильный подкласс класса А, содержащий, в свою очередь, все ограниченные гармонич. функции в В п(0, R). Для почти всех точек по мере Лебега на Sn(0, R) интеграл Пуассона Стилтьеса (5) имеет угловые граничные значения, совпадающие со значением производной m'(у). меры m по мере Лебега. Теория интегралов Пуассона Стилтьеса и Пуассона Лебега строится и для случая полупространства (см. [5]).

Большую роль в теории аналитич. ций многих комплексных переменных и в ее применениях к квантовой теории поля играют различные модификации П. и. Напр., ядро Пуассона для поликруга

комплексного пространства С ⁿ получается при перемножении ядер (2):

Соответствующий П. и.

по остову поликруга , j=1, . . ., n} дает кратногармонич. функцию , принимающую на остове Т ⁿ непрерывные значения f(z). Рассматриваются также обобщения в виде интегралов Пуассона Лебега и Пуассона Стилтьеса (см. [6]).

В квантовой теории поля применяются П. и. для трубчатых областей T^C комплексного пространства над выпуклым открытым острым конусом Св пространстве (с вершиной в начале координат) вида

П. и. для полуплоскости вида (3) при n=2 есть частный случай таких П. и. для трубчатых областей. П. и. для ограниченных симметрич. областей пространства С ⁿ представляется так же, как П. и. для трубчатой области в пространстве матриц. Понимая плотность П. и. f как обобщенную функцию, а сам П. и.как свертку f с ядром Пуассона, приходят к важному понятию П. и. от обобщенных функций определенных классов (см. [7]-[9]).

Лит.:[1] Poiseon S. D., "J. Ecole polytechn.", 1820, t. 11, p. 295-341; 1823, t. 12, p. 404-509; [2] Schwarz H. A., "Vterteljahrsechr. Naturforsch. Oes. Zurich", 1870, Bd 15, 8. 113 28; [3] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [4] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [5] Соломенцев Е. Д., Итоги науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1962, М., 1984, с. 83-100; [6] Рудин У., Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974; [7] Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976; [8] Хуа Ло кен, Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях, пер. с кит., М., 1959; [9] Стейн И., Вейс Г., Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах, пер. с англ., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985