Математическая энциклопедия - пуассона уравнение

; численные методы решения методы, заменяющие исходную краевую задачу для уравнения Пуассона

(1)

системой из Nлинейных алгебраич. уравнений

LN(uN)=fN,(2)

решение к-рой позволяет построить нек-рую аппроксимацию pNuN для решения исходной задачи,.

В зависимости от способа сравнения решений исходной задачи (1) и дискретной задачи (2) определяются такие важнейшие понятия, как погрешность численного метода и оценка погрешности (точности). Другими характеристиками численных методов служат алгебраич. свойства систем (2) (дискретных аналогов краевых задач), связанные с устойчивостью их решений (корректностью дискретных задач) и возможностью отыскания точных или приближенных решений (2) теми или иными прямыми или итерационными методами при выполнении соответствующей вычислительной работы и соответствующих требованиях на объем используемой памяти ЭВМ (см. Минимизация вычислительной работы).

Важность численного решения краевых задач для П. у. определяется не только тем, что эти задачи часто возникают в разнообразных областях науки и техники, но и тем, что они нередко служат и средством решения более общих краевых задач как для уравнений и систем уравнений эллиптич. типа, так и различных нестационарных систем. Основными численными методами для решения рассматриваемых краевых задач являются проекционные методы и разностные методы.

Проекционные методы включают в себя ряд методов: вариационные, наименьших квадратов, Галеркина, проекционно-разностные, проекционно-сеточные, конечных элементов. Для всех них характерно сведение исходной краевой задачи к операторному уравнению

L(u)=f (3)

(оператор Lдействует, напр., из гильбертова пространства Нв Н).с последующим выбором конечномерных подпространств Н N и ; сама задача (3) в этих методах заменяется задачей нахождения такой, что для любого

Тогда при заданных базисах в Н N и FN система (2) является системой относительно коэффициентов разложения по базису Н N и за pNuN можно принять саму функцию ; погрешность метода естественно определить как . В наиболее важных случаях Нявляется нек-рым подпространством пространства Соболева , и если y1(x),y2(x), . . .,yN(x).базис HN, то система (2) принимает вид

(4)

Погрешность метода при этом определяется расстоянием в H от решения исходной задачи до подпространства HN (см. [1], [5]-[9]). В современных вариантах проекционных методов подпространства Н N стремятся выбирать так, чтобы функции yi(x).имели локальные носители и в каждом уравнении (4) лишь конечное число коэффициентов было отлично от нуля. Методы такого типа и наз. проекционно-сеточными методами (проекционно-разностными, вариационно-разностными, конечных элементов) (см. [1], [4], [7] [9], [11]). Наибольшим достоинством этих методов является их применимость при достаточно сложной геометрии области W, в к-рой рассматривается краевая задача. К проекционным методам примыкает и относительно редко применяемый коллокаций метод.

Разностные (конечноразностные) методы используют аппроксимацию исходной области W нек-рой сеточной областью WN, содержащей Nузлов сетки, и обычно приводят к системе (2) на основе аппроксимации П. у. и соответствующих граничных условий их разностными (сеточными) аналогами, использующими лишь значения функции в выбранных узлах (см. [1]). Погрешность метода обычно получается сравнением вектора uN и вектора, получаемого сужением искомого решения на множество рассматриваемых узлов. Корректность и аппроксимация могут изучаться при различных выборах норм, в частности возможно использование принципа максимума; сходимость получается как следствие корректности и аппроксимации (см. [1]-[4]).

Системы (2) могут выводиться и на основе нек-рых дискретных аналогов соответствующих вариационных задач и на основе аппроксимации нек-рых интегральных соотношений (см. [1], [2], [4], [10]); такие подходы несколько сближают эти варианты разностных методов с проекционно-разностными.