Математическая энциклопедия - рациональная функция

1) Р. ф.функция w=R(z), где R(z) рациональное выражение от z, т. е. выражение, полученное из независимого переменного z и нек-рого конечного набора чисел (действительных или комплексных) посредством конечного числа арифметич. действий. Р. ф. можно записать (не единственным образом) в виде

где Р, Q - многочлены, . Коэффициенты этих многочленов наз. к о э ф ф и ц и е н т а м и Р. ф. Дробь P/Qназ. несократимой, если Р, Q не имеют общих нулей (то есть Р, Q - взаимно простые многочлены). Всякую Р. ф. можно записать в виде несократимой дроби R(z)=P(z)/Q(z);если при этом Р имеет степень m, a Q - степень п, то степенью Р. ф. R(z)наз. пару (m, n) или число

Р. ф. степени ( т, п).при n=0, т. е. многочлен, наз. ц е л о й р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й, в противном случае д р о б н о р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й. Р. ф. не имеет степени. При m<n дробь Rназ. правильной, при неправильной. Неправильную дробь можно единственным образом записать в виде

где Р 1 -многочлен, наз. целой частью дроби Р/Q, a P2/Qправильная дробь. Правильная дробь с несократимой записью R(z)=P (z)/Q(z), где

может быть единственным образом разложена в сумму простейших дробей:

(1)

Если P(x)/Q(x)-правильная Р. ф. с действительными коэффициентами и

где действительные числа, , то P(x)/Q(x)также единственным образом представляется в виде

(2)

где все коэффициенты действительны. Эти коэффициенты, как и в (1), могут быть найдены неопределенных коэффициентов методом.

Р. ф. степени (m, п).в несократимой записи определена и аналитична в расширенной комплексной плоскости (т. е. плоскости, дополненной точкой ) за исключением конечного числа особых точекполюсов в нулях ее знаменателя, а при т>п еще и в точке ; при этом сумма кратностей полюсов функции Rравна ее степени N. Обратно, всякая аналитич. ция, имеющая в расширенной комплексной плоскости в качестве особых точек только полюсы, является Р. ф.

В результате арифметич. действий над. Р. ф. получают также Р. ф. (деление на исключается), так что все Р. ф. образуют поле; вообще, Р. ф. с коэффициентами из нек-рого поля образуют поле. Если R1(z), R2(z) суть Р. ф., то и R1(R2(z))является Р. ф. Производная порядка рот Р. ф. степени N есть Р. ф. степени . Неопределенный интеграл (первообразная) от Р. ф. представляет собой сумму нек-рой Р. ф. и выражений вида . Если Р. ф. R(х)действительна при действительном х, то неопределенный интеграл может быть записан в виде суммы нек-рой Р. ф. R0(x)с действительными коэффициентами, выражений вида

и произвольной постоянной С(здесь числа , те же, что и в (2), Mj, Nj - нек-рые действительные числа). Функцию R0(x)по Остроградского методу можно найти, минуя разложение R(х)на простейшие дроби (2).

Удобные для вычислений, Р. ф. используются для приближенного представления функций. Рассматриваются также Р. ф. от нескольких действительных или комплексных переменных R = P/Q, где Р, Q - многочлены от соответствующих переменных , а также абстрактные Р. ф.

где Ф 1, Ф 2, ... линейно независимая система непрерывных функций на нек-ром бикомпакте X, а A1,..., А т, B1, . . ., B п - числа.

См. также Дробно-линейная функция, Жуковского функция.

Лит.:[1] П р и в а л о в И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977; [2] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. Е. П. Долженко.

2)Р. ф. н а а л г е б р а и ч е с к о м м н о г о о бр а з и и обобщение классич. понятия рациональной функции (см. п. 1). Р. ф. на неприводимом алгебраич. многообразии X - это класс эквивалентности пар (U, f), где X- непустое открытое подмножество в X, а f регулярная функция на U. Две пары (U, f) и (V, g )наз. эквивалентными, если f=g на . Р. ф. на Xобразуют поле, обозначаемое k(X).

В случае, когда X=Spec R аффинное неприводимое многообразие, поле Р. ф. на Xсовпадает с полем частных кольца R. Степень трансцендентности над kполя k(X). наз. р а з м е р н о с т ь ю м н о г о о бр а з и я X.

Лит.:[1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. Вик. С. Куликов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985