Математическая энциклопедия - рациональная поверхность

двумерное алгебраич. многообразие, определенное над полем k, поле рациональных функций к-рого является чисто трансцендентным расширением поля kстепени 2. Любая Р. п. Xбирационально изоморфна проективному пространству Р ².

Геометрич. род pg и иррегулярность полной гладкой Р. п. X равны 0, то есть на Xнет регулярных дифференциальных 2-форм и 1-форм. Все кратные роды . гладкой полной Р. п. Xтакже, равны 0, где KX- канонич. дивизор поверхности X. Эти бирациональные инварианты выделяют Р. п. среди всех алгебраич. поверхностей, а именно, всякая гладкая полная алгебраич. поверхность с инвариантами является Р. п. (к р и т е р и й р а ц и о н а л ь н о с т и К а с т е л ь н у о в о). Согласно другому к р и т е р и ю р а ц и о н а л ь н о с т и гладкая полная алгебраич. поверхность Xявляется Р. п. тогда и только тогда, когда на Xлежит неособая рациональная кривая С, индекс самопересечения к-poй

Каждая алгебраич. поверхность, кроме Р. п. и линейчатых поверхностей, бирационально изоморфна единственной минимальной модели. В классе Р. п. имеется счетное множество относительно минимальных моделей. Это проективное пространство Р ² и поверхности (проективизации двумерных линейных расслоений над проективной прямой Р ¹),, где и . Другими словами, поверхность Fn- это расслоение на рациональные кривые над рациональной кривой, у к-рого есть сечение Sn- гладкая рациональная кривая с индексом самопересечения . Поверхность F0 изоморфна прямому произведению , а поверхности Fn получаются из F0 с помощью последовательности элементарных преобразований (см. [1]).

Р. п. имеют большую группу бирациональных преобразований (т. н. г р у п п у к р е м о н о в ы х п р ео б р а з о в а н и й).

Если на гладкой полной Р. п. антиканонич. пучок обилен, то Xназ. п о в е р х н о с т ь ю Д е л ь П е ц ц о. Наибольшее целое число r>0 такое, что для нек-рого дивизора Dна X, наз. индексом п о в е р х н о с т и Д е л ь П е ц ц о. Индекс rможет принимать значения 1, 2, 3 (см. [2]). Поверхность Дель Пеццо индекса 3 изоморфна P^J. Для поверхности Дель Пеццо Xиндекса 2 рациональное отображение , определяемое пучком OX(D), дает бирациональный изоморфизм на квадрику в Р ³. Поверхности Дель Пеццо индекса 1 могут быть получены пмоноидальными преобразованиями плоскости Р ² с центрами в точках общего положения, где

(см. [2]).

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965 [Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 75]; [2] И с к о в с к и х В. А., в сб.: Современные проблемы математики, т. 12, М., 1979, с. 59-157; [3] X а р т с х о р н Р., Алгебраическая геометрия, пер. с англ., М., 1981. Вик. С. Куликов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985