Математическая энциклопедия - рациональное многообразие

алгебраическое многообразие Xнад алгебраически замкнутым полем k, поле рациональных функций k(X)к-рого изоморфно чисто трансцендентному расширению конечной степени поля k. Другими словами, Р. м.это алгебраич. многообразие X, бирационально изоморфное проективному пространству Р ⁿ.

Полное гладкое Р. м. Xобладает следующими бирациональными инвариантами. Размерности всех пространств регулярных дифференциальных k-форм на Xравны 0. Кроме того, кратный род

где KX- канонич. дивизор алгебраич. многообразия X, т. е. кодаировская размерность Р. м. Xравна 0. В малых размерностях перечисленные выше инварианты однозначно выделяют класс Р. м. среди всех алгебраич. многообразий. Так, если и род алгебраич. кривой Xравен 0, то X рациональная кривая. Если а арифметич. род

и кратный род Р 2=0, то X - рациональная поверхность. Однако в случае нет хорошего критерия рациональности из-за отрицательного решения Люрота проблемы.

Лит.:[1] Ш а ф а р е в и ч И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972. Вик. С. Куликов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985