Математическая энциклопедия - рациональное представление

а л г е бр а и ч е с к о й г р у п п ы G линейное представление алгебраич. группы G над алгебраически замкнутым полем kв конечномерном векторном пространстве Vнад k, являющееся рациональным (и тем самым регулярным) гомоморфизмом группы Gв GL(V). Говорят также, что V - р а ц и о н а л ь н ы й G-м о д у л ь. Прямая сумма и тензорное произведение конечного числа Р. п. группы G являются Р. п.; подпредставление и факторпредставление нек-рого Р. п. являются Р. п.; симметрическая или внешняя степень любого Р. п. является Р. п.; представление, контрагредиентное к Р. п., является Р. п.

Если G конечна, то всякое ее линейное представление будет Р. п. и теория Р. п. сливается с теорией представлений конечных групп. В наибольшей степени специфич. методы теории линейных алгебраич. групп используются при исследовании Р. п. в том случае, когда рассматриваемая группа связна, причем наиболее глубоко развита теория Р. п. связных полупростых алгебраич. групп. Далее G такая группа. Пусть Т - ее максимальный тор, Х(T) его группа рациональных характеров (записываемая аддитивно), S система корней группы G относительно Т, W - ее группа Вейля. И пусть есть Р. п. Ограничение представления j на Т разлагается в прямую сумму одномерных представлений, точнее

где Pj МX(T)-нек-рое множество характеров тора Т, называемых в е с а м и представления, а

Множество весов Р j инвариантно относительно W. Если char k=0, то всякое Р. п. группы G вполне приводимо, но если char k>0, то это уже не так (см. Мамфорда гипотеза). Однако при любой характеристике поля kимеется полное описание неприводимых Р. п. Пусть Вборелевская подгруппа в G, содержащая Т, и D определяемая ею система простых корней в S. Группа X (B)рациональных характеров группы Вотождествляется с Х(T). В пространстве Vлюбого неприводимого Р. п. существует единственное одномерное весовое подпространство V(dj), , инвариантное относительно группы В. Характер dj наз. с т а р ш и м в е с о м н е п р и в о д и м ог о Р. п. j; он доминантен, т. е. скалярное произведение для любого , а всякий другой вес имеет вид

Отображение определяет биекцию между классами эквивалентных неприводимых Р. п. и доминантными элементами из Х(Т). Явная конструкция всех неприводимых Р. п. может быть получена следующим образом. Пусть алгебра регулярных функций на G. Для любого рассматривается подпространство

Оно конечномерно и является рациональным G-модулем относительно действия группы G левыми сдвигами. Геометрич. смысл этого пространства таков: оно канонически отождествляется с пространством регулярных сечений одномерного однородного векторного расслоения над G/B, определенного характером -c. Пусть элемент, переводящий положительные корни в отрицательные. Тогда если , то cдоминантный характер и минимальный ненулевой G-подмодуль в является неприводимым рациональным G-модулем со старшим весом c. Всякий неприводимый рациональный G-модуль получается при помощи такой конструкции. Если char k=0, то уже сам G-модуль неприводим.

Для получения неприводимых Р. п. часто используются упомянутые выше операции над Р. п. Напр., если ji-неприводимое Р. п. со старшим весом ci, i=1, ..., d, то нек-рое факторпредставление является неприводимым Р. п. со старшим весом ci + +...+cd (оно наз. к а р т а н о в с к о й к о м п оз и ц и е й Р. п. j1, . . ., jd). Если j неприводимое Р. п. со старшим весом c, то нек-рое факторпредставление является неприводимым Р. п. со старшим весом dc, а j* неприводимо и его старшим весом является -

Пусть алгебра Ли группы G. Если есть Р. п., то его дифференциал dj является представлением алгебры Ли . Р. и. j наз. инфинитезимально неприводимым, если dj неприводимое представление алгебры . Инфинитезимально неприводимое Р. п. неприводимо, а в случае char k=0 верно и обратное (что в значительной степени сводит теорию Р. п. группы к теории представлений ее алгебры Ли), однако в случае char k>0 это уже не так. Инфинитезимально неприводимые Р. п. в этом случае это в точности неприводимые Р. п. со старшими весами c, для к-рых

Более того, все неприводимые Р. п. могут быть построены при помощи Инфинитезимально неприводимых. Точнее, если G односвязна, т. е. если X(Т)совпадает с решеткой весов корневой системы S, то всякое неприводимое Р. п. однозначно разлагается в тензорное произведение вида

где ji0, j1 . . ., jd Инфинитезимально неприводимы, а представление, полученное применением к матричным элементам представления ji автоморфизма Фробениуса

Лит.:[1] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] е г о ж е, в кн.: Algebraic geometry, Providence, 1975, p. 421-40 (Proc. Symposia in pure math., v. 29, Arkata, 1974); [3] Х а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [4] Семинар по алгебраическим группам, пер. с англ., М., 1973; [5] С т е й н б е р г Р., Лекции о группах Шевалле, пер. с англ., М., 1975; [6] е г о ж е, "Nagoya math. J.", 1963, v. 22, p. 33-56; [7] Hochschild G., The structure of Lie groups, S. F., 1965; [8] H u m p h r e y s J. E., Introduction to Lie algebras and representation theory, N. Y. [a. o.], 1972. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985