Математическая энциклопедия - рациональная особенность

нормальная особая точка Р алгебраич. многообразия или комплексно аналитич. ространства X, допускающая разрешение особенности , при к-ром прямые образы структурного пучка О Y тривиальны при . Тогда этим свойством будет обладать и любое разрешение данной особенности. Если основное поле имеет характеристику 0, то особенность является Р. о. тогда и только тогда, когда X - многообразие Коэна Маколея и вложение дуализирующих пучков является изоморфизмом [5].

P.о. являются, например, особые точки факторпространства , где G - конечная группа линейных преобразований; особая точка 0 гиперповерхности при (см. [8]); торические особенности.

Если г о р е н ш т е й н о в а изолированная особенность (т. о. пучок wX локально свободен) над полем и -образующая пучка , то Рявляется Р. о. тогда и только тогда, когда

в достаточно малой окрестности Uточки Р(см. [7]). В случае, когда dim Х=2, особенность Ррациональна тогда и только тогда, когда h¹( О D)=0 для каждого цикла Dна исключительной кривой разрешения p. В этом случае для Р. о. все компоненты Ei кривой Еизоморфны проективной прямой Р ¹, Е - дивизор с нормальными пересечениями и граф Г разрешения является деревом.

Фундаментальным циклом особенности наз. минимальный цикл Z>0 на Е, для к-рого для всех i. В терминах цикла Zможно дать критерий рациональности: , а также вычислить кратность особенности и размерность касательного пространства [1].

Р. о. гиперповерхностей Xв трехмерном аффинном пространстве A³ или, что эквивалентно, двумерные Р. о. кратности 2 наз. д в о й н ы м и Р. о. Двойные Р. о. имеют ряд эквивалентных характеризаций и несколько различных названий: о с о б е н н о с т и К л е й н а, о с о б е н н о с т и Д ю В а л я, п р о с т ы е о с о б е н н о с т и. Уравнения двойных Р. о. возникают как уравнения, связывающие инварианты групп симметрии правильных многогранников (см. [6]). Это соответствует характеризаций двойных Р. о. как особенностей факторпространств , где G - коночная подгруппа в ; с точностью до сопряженности такие подгруппы исчерпываются списком: С п - циклич. группа порядка п, бинарные группы диэдра Dn, группа тетраэдра Т, группа октаэдра О, группа икосаэдра I. Если p минимальное разрешение двойной Р. о., то все и взвешенный граф Г совпадает со схемой простых корней одной из полупростых алгебр Ли , обозначения к-рых переносятся и на особенности. С точностью до изоморфизма такая особенность определяется своим взвешенным графом Г ([3], [11]), см. таблицу, кол. 915. Двойные Р. о. могут быть охарактеризованы как двумерные горенштейновы Р. о. Они наз. также к а н он и ч е с к и м и о с о б е н н о с т я м и, т. к. это в точности те особенности, к-рые появляются на канонич. моделях алгебраич. поверхностей основного типа.

Если горенштейнова Р. о. произвольной размерности, то ее общее гиперповерхностное сечение есть либо рациональная, либо эллиптическая горенштейнова особенность, что позволяет, в частности, описать трехмерные Р. о. (см. [8]).

В произвольной размерности справедливы следующие факты (см. [4]). 1) Деформация Р. о. есть снова Р. о. 2) Если плоский морфизм, , причем точка s=f(x)является Р. о. в S, а х - Р. о. слоя , то x- является Р. о. в X.3) Если деформация имеет гладкую базу Sи допускает одновременное разрешение особенностей, то точка является Р. о. тогда и только тогда, когда хявляется Р. о. в своем слое ).

В случае dim X=2любая деформация многообразия Y, разрешающего Р. о. , определяет деформацию особенности Р, к-рая получается, если стянуть исключительные кривые слоев данной деформации. В результате получается морфизм баз версальных деформаций многообразия Yи особенности Р. Образ есть неособая неприводимая компонента в Def X, называемая к о м п о н е н т о й А р т и н а, а накрытие Галуа, группа Wк-рого может быть найдена при помощи графа Г особенности Р(см; [2], [10] ). В частности, для двойной Р. о. j сюръективно и Wсовпадает с группой Вейля соответствующей алгебры Ли, т. е. версальная деформация Р. о. одновременно разрешается после накрытия Галуа базы деформации с группой Вейля W(см. [9]).

Лит.:[1] А r t i n М., "Amer. J. Math.", I966, v. 88, p. 12936; [2] е г о ж е, "J. Algebra" 1974, v. 29, №2, p. 330-48; [3] B r i e s k o r n E., "Invent. math.", 1968, v. 4, p. 336-58; [4] E 1 k i k R., там же, 1978, v. 47, p. 139 47; [5] К е m p f G., B кн.: Toroidal embeddings, v. 1, В.[u. a.], 1973, p. 41-52; [6] K l e i n F., Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichung von funften Grade, Lpz., 1884; [7] L a u f е r Н. В., "Amer. J. Math.", 1972, v. 94, p. 597 608; [8] R е i d М., в кн.: Geometrie algebrique, Rockvill, 1980, p. 273-311; [9] S l o d o w y P. J., Simple singularities and simple algebraic groups, В., 1980; [10] W a h 1 J., "Compos. math.", 1979, v. 38, p. 43-54; [11] Т ю р и н а Г. Н., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, с .943-70. Вал. С. Куликов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985