Математическая энциклопедия - радемахера система

ортонормированная на отрезке [0,1] система . Введена X. Радемахером [1]. Функции можно определить равенствами

, ...

Другое определение функций Радемахера получается путем рассмотрения двоичных разложений чисел отрезка [0,1]: если в двоичном разложении числа хна k-м месте стоит цифра 0, то полагают , если же на k-м месте стоит 1, то ; в случае же, когда x=0 или число хдопускает два разложения, полагают . Согласно этому определению отрезок [0,1] распадается на равных подинтервала, в каждом из которых функция принимает попеременно значения +1 и -1, а на концах подинтервалов

Система представляет типичный пример стохастически независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так и в теории ортогональных рядов.

Одно из важных свойств Р. с. устанавливается теоремой Радемахера: если , то ряд сходится почти всюду на [0,1], и теоремой Хинчина-Колмогорова: если , то ряд расходится почти всюду на [0,1].

Так как функции Радемахера в двоично иррациональных точках интервала [0,1] принимают лишь значения ±1, то рассмотрение ряда означает, что у членов ряда выбирается распределение знаков ±1, зависящее от точки х. Если x=0, a1 a2. . . an . . .представление числа в виде бесконечной двоичной дроби, то при an=0 перед с п ставится знак + и при an=1 ставится знак .

Вышеприведенные теоремы в терминах теории вероятностей означают, что если , то ряд сходится для почти всех распределений знаков (сходится с вероятностью 1), и если , то ряд расходится для почти всех распределений знаков (расходится с вероятностью 1).

Наоборот, ряд теорем теории вероятностей можно сформулировать в терминах функций Радемахера. Напр., теорема Кантелли о том, что при игре "в герб и решетку" со ставкой 1 средний выигрыш с вероятностью 1 стремится к нулю, означает, что почти всюду на [0,1] выполняется равенство

Лит.:[l] Rademacher H., "Math. Ann.", 1922, Bd 87, S. 112-38;[2] К а ч м а ж С., Ill т е и н г а у з Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [3] АлексичГ., Проблемы сходимости ортогональных рядов, пер. с англ., М., 1963; [4] К а ц М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.

А. А. Талалян.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985