Математическая энциклопедия - ранг алгебры ли

минимальная из кратностей собственного значения l= 0 для линейных операторов по всем хиз алгебры Ли L. Предполагается, что алгебра Lконечномерна. Элемент х, для к-рого эта кратность минимальна, наз. р е г у л я р н ы м. Множество регулярных элементов алгебры Ли открыто в ней (в топологии Зариского). Р. а. Ли равен размерности любой из ее Картана подалгебр. Ранг rkL ненулевой алгебры Ли Lудовлетворяет неравенствам

причем равенство rkL=dimL имеет место тогда и только тогда, когда Lнильпотентна. Для полупростых алгебр Ли над полем kранг совпадает со степенью трансцендентности над kподполя поля рациональных функций на L, порожденного всеми коэффициентами характеристич. многочлена эндоморфизма

Р. а. Ли , где R радикал в L, наз. п о л у п р о с т ы м р а н г о м а л г е б р ы I.

П р и м е р ы. Пусть L - одна из следующих алгебр Ли: 1) алгебра всех квадратных матриц порядка пс элементами из поля k;2) алгебра всех матриц с нулевым следом; 3) алгебра всех верхнетреугольных матриц; 4) алгебра всех диагональных матриц ; 5) алгебра всех верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали. Для этих алгебр ранг и полупростой ранг равны соответственно п, п-1, п, п, n(n-1).2и n-1, п-1, 0, 0, 0.

Лит.:[1] Д ж е к о б с о н Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [3] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985