Математическая энциклопедия - рангов вектор

векторная статистика R= =(R1, . . ., Rn), построенная по случайному вектору наблюдений X= (Х 1 . .., Х п), i-я компонента к-рой Ri=Ri(X), i=l, 2, . . ., п, определяется по правилу

где характеристическая функция множества , т. е.

Статистика Ri наз. р а н г о м i-й компоненты Х i:, i=l, 2, . . ., п, случайного вектора X. Определение Р. в. будет корректным при выполнении следующего условия:

к-рое заведомо выполняется, если распределение вероятностей случайного вектора Xзадается плотностью р(х)=р( х 1, . . ., х n). В этих условиях из определения Р. в. следует, что статистика Rпринимает значения в пространстве всех перестановок r= (rl, r2, . . ., rn) чисел 1, 2, . . ., п, при этом реализация ri (ri=1, 2, . . ., п).ранга Ri численно равна количеству компонент вектора X, наблюденные значения к-рых не превосходят реализации i-й компоненты Xi, i=l, 2, . . ., п.

Пусть вектор порядковых статистик, построенный по вектору наблюдений X. Тогда пара является достаточной статистикой для распределения вектора X, причем сам вектор Xоднозначно восстанавливается по достаточной статистике . Кроме того, при дополнительном предположении о симметричности плотности вероятности р(х).случайного вектора Xотносительно перестановок аргументов компоненты достаточной статистики независимы и

В частности, если

(1)

т. е. компоненты X1, Х 2, . . ., Х п случайного вектора Xсуть независимые одинаково распределяемые слу-

чайные величины (f(xi) плотность вероятности случайной величины Х i), то

(2)

для любого k=1,2, . . ., п.

При выполнении условия (1) существует совместная плотность вероятности q(xi, k), k=1,2, . . ., п, случайных величин Xi и Ri, к-рая выражается формулой

(3)

где F(xi) - функция распределения случайной величины Xi. Из (2) и (3) следует, что условная плотность вероятности случайной величины Х i при условии, что Ri=k(k=1,2, . . ., n), выражается

формулой

(4)

Последняя формула позволяет проследить внутреннюю связь, существующую между вектором наблюдений X, Р. в. R и вектором порядковых статистик , так как (4) есть не что иное, как плотность вероятности k- йпорядковой статистики , k=1,2, ... , п. Кроме того, из (3) следует, что условное распределение ранга Ri выражается формулой

И, наконец, при допущении о существовании моментов Е{Xi} и D{Xi}и выполнении (1) из (2) и (3) следует, что коэффициент корреляции между Xi, и Ri, равен

В частности, если Xi подчиняется равномерному распределению на отрезке [0,1], то

Вслучае, если Xi подчиняется нормальному распределению N( а,s²), то причем не зависит от параметров нормального закона.

Лит.:[1] H o e f f d i n g W., в кн.: Ргос. 2 Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, Berkeley Los Ang., 1951, p. 83-92; [2] Г а е к Я., Ш и д а к З., Теория ранговых критериев, пер. с англ., М., 1971; [3] Т а р а с е н к о Ф. II., Непараметрическая статистика, Томск, 1976. М. С. Никулин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985