Математическая энциклопедия - ранг алгебраической группы

G размерность любой из ее Картана подгрупп (эта размерность не зависит от выбора подгруппы Картана). Наряду с Р. а. г. Gрассматриваются ее п о л у п р о с т о й р а н г и р е д у к т и в н ы й р а н г, к-рые, по определению, равны соответственно Р. а. г. и Р. а. г. , где R - радикал алгебраич. группы G,a Ru - ее унипотентный радикал. Редуктивный Р. а. г. G равен размерности любого из ее максимальных торов. Редуктивным k-pа н г о м линейной алгебраич. группы G, определенной над полем k(а в случае, когда группа G редуктивна,просто ее k-pа н г о м), наз. размерность любого ее максимального k-разложимого тора (эта размерность не зависит от выбора тора; см. Разложимая группа). Если k-ранг определенной над k редуктивной линейной алгебраич. группы G равен нулю (соответственно рангу G), то группа G наз. а н из о т р о п н о й (соответственно р а з л о ж и м о й) над k(см. также Анизотропная группа).

П р и м е р ы. 1) Р. а. г. Т n всех невырожденных верхнетреугольных квадратных матриц порядка правен ее редуктивному рангу и равен п;полупростой ранг группы Т п равен нулю. 2) Р. а. г. Un всех верхнетреугольных квадратных матриц порядка n с единицами на главной диагонали равен ее размерности , а редуктивный и полупростой ранги группы Un равны нулю. 3) Р. а. г. On(k, f).всех автоморфизмов определенной над полем kквадратичной формы f в n-мерном векторном пространстве над kравен , а k-ранг группы О n(k, f).равен индексу Витта формы f.

Если характеристика основного поля равна 0, то Р. а. г. G совпадает с рангом ее алгебры Ли L(см. Ранг алгебры Ли).и равен минимальной из кратностей собственного значения l= 1 всевозможных присоединенных операторов (минимум берется по всем . Элемент , для к-рого эта кратность равна Р. а. г. G, наз. р е г у л я р н ы м. Множество регулярных элементов группы G открыто в G в топологии Зариского.

Лит.:[1] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958; [2] Б о р е л ь А., Т и т с Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; [3] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [4] X а м ф р и Д ж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985