Математическая энциклопедия - рождения и гибели процесс

марковский процесс с состояниями 0, 1, 2, . . ., в к-ром за время (t, t+h )возможны переходы из состояния пв состояния n+1 и п-1 с вероятностями ln(t)h+o(h) и mn(t)h+o(h) соответственно, а вероятность остальных переходов равна o(h). При специальном выборе коэффициентов размножения ln(t). и гибели mn(t) получаются частные случаи, к-рые дают удовлетворительное описание различных реальных процессов: радиоактивных превращений, работы телефонных станций, эволюции биологич. популяций и т. д. Использованию Р. и г. п. в приложениях способствует простота уравнений для переходных вероятностей, к-рые часто удается найти в явном виде. Напр., в случае пуассоновского процесса ln(t)=l, mn(t)=0, вероятности Pn(t)(Pn(t) - вероятность нахождения в момент времени tв состоянии n, если процесс начался из состояния 0) удовлетворяют системе уравнений:

Решение этой системы:

Более общим является процесс, для к-рого ln(t)=nl, mn(t)=0. Этот тип процесса был впервые изучен Дж. Юлом (G. Jule, 1924) в связи с математич. теорией эволюции. П р о ц е с с Ю л а является частным случаем п р о ц е с с а ч и с т о г о р а з м н о ж е н и я, к-рый получается из общего Р. и г. п., если положить ln(t)=ln,mn(t)=0. Если ln растут очень быстро, то за конечное время можно с положительной вероятностью пройти по всем состояниям и тогда

^: Условие

для процесса чистого размножения выполняется тогда и только тогда, когда расходится ряд . Если , то Р. и г. п. представляет собой ветвящийся процесс с иммиграцией, в к-ром состояние n означает число частиц, причем каждая частица за время (t, t+h )с вероятностью mh+o(h)погибает, с вероятностью lh+o(h)делится на две и, кроме того, извне иммигрирует одна частица с вероятностью vh+o(h). Если v=0, то получится простейший ветвящийся процесс без иммиграции. Если l=0, a v > 0, то этот вид процесса с иммиграцией можно применить к описанию работы телефонной системы с бесконечным числом линий. Состоянием тогда является число занятых линий. Коэффициент размножения ln(t)=v характеризует поступающий поток вызовов, а m длительность разговора.

Лит.:[1] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, М., 1964-67; [2] С е в ас т ь я н о в Б. А., Теория ветвящихся процессов, в кн.: Итоги науки. Серия Математика, т. 14Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. 1967, М., 1968, с. 5-46; [3] С а а т и Т. Л., Элементы теории массового обслуживания и ее приложения, пер. с англ., М., 1965.

В. П. Чистяков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985