Математическая энциклопедия - шрёдингера уравнение

основное уравнение квантовой механики, определяющее вместе с соответствующими дополнительными условиями волновую функцию характеризующую состояние и микроскопия, свойства квантовой системы. Для нерелятивистской системы частиц без спина сформулировано Э. Шрёдингером (Е. Schrodinger, 1926). Оно имеет вид

где -оператор Гамильтона, образованный по общему правилу: в классич. функции Гамильтона Н( р, r )импульсы частиц ри их координаты . заменены на операторы, имеющие, в частности, в координатном (q=r1, . .., rN) и импульсном представлениях соответствующий вид

Для заряженных частиц в электромагнитном поле, характеризуемом векторным потенциалом A(t, r), величина . заменяется на В этих представлениях Ш. у. представляет собой дифференциальное уравнение с частными производными, напр. для частицы в поле U(r)

Возможны дискретные представления, в к-рых -функция многокомпонентна, а оператор имеет вид матрицы. Если волновая функция определена в пространстве чисел заполнения, то оператор выражается с помощью определенных комбинаций операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования). Обобщение Ш. у. на случай нерелятивистской частицы со спином (двухкомпонентная функция наз. уравнением Паули (1927), на случай релятивистской частицы со спином ¹/2 (четырехкомпонентная -функция) уравнением Дирака (1928), на случай релятивистской бесспиновой частицы уравнением Клейна Гордона (1926), со спином 1 -функция вектор) уравнением Прока (1936) и т. д.

Решение Ш. у. определяется в классе функций, удовлетворяющих условию нормировки при всех значениях t, где скобки означают интегрирование или суммирование по всем значениям переменных q. Для нахождения решения необходимо сформулировать начальные и граничные условия, соответствующие характеру рассматриваемой задачи. Наиболее характерные типы таких задач:

1) Стационарное Ш. у. и определение допустимых значений энергии системы. Полагая и требуя в соответствии с условием нормировки и условием отсутствия потоков на бесконечности обращения в нуль волновой функции и ее градиентов при приходят к ypавнению на собственные значения Е п и собственные функции оператора Гамильтона:

Характерные примеры точного решения этой проблемы: собственные функции и уровни энергии для гармонич. осциллятора, атома водорода и т. д.

2) Квантовомеханич. задача рассеяния. Ш. у. решается с граничными условиями, соответствующими на большом расстоянии от центра рассеяния (описываемого потенциалом U(r))падающей на него плоской и расходящейся от него сферич. волнам. С учетом такого граничного условия Ш. у. можно записать в виде интегрального уравнения, первая итерация к-рого по члену, содержащему U(r), соответствует т. н. борновскому приближению. Это уравнение можно представить в виде формального решения, к-рое называют также уравнением Липпмана Швингера.

3) Случай, когда гамильтониан системы зависит от времени, H=H0( р, r)+U(t, р, r), обычно рассматривается в рамках временной теории возмущений. Это теория квантовых переходов, определение реакции системы на внешнее возмущение (динамич. восприимчивость) и характеристик релаксационных процессов.

Для решения Ш. у. обычно используют приближен ные методы, регулярные (различного типа теории возмущений), вариационные и т. д.

Лит.:[1] Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1973; [2] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 3 изд., М., 1974; [3] Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч., Квантовая механика, М., 1979.

И. А. Квасников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985