Математическая энциклопедия - совершенное число

целое положительное число, обладающее свойством, что оно совпадает с суммой всех своих положительных делителей, отличных от самого этого числа.

Таким образом, целое число является С. ч., если

С. ч. являются, напр., числа 6, 28, 496, 8128,33550336,... С. ч. тесно связаны с простыми Мерсенна числами, т. е. с простыми числами вида 2 ^т-1. Еще Евклид установил, что число

п =2 ^т-1(2 ^т1)

является совершенным, если 2^m-1 простое число. Л. Эйлер (L. Euler) показал, что этими числами исчерпываются все четные С. ч.

До сих пор (1983) неизвестно, будет ли конечным или бесконечным множество четных С. ч., т. е. неизвестно, будет ли конечным или бесконечным множество простых чисел Мерсенна 2 ^т-1. Неизвестно также, существуют ли нечетные С. ч.

До 1983 найдено 27 четных С. ч. Первые 23 из них соответствуют следующим значениям т:2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4219, 4423, 9689, 9941, 11213. Список С. ч. с 12-го по 24-е указан в [2]. Четные С. ч. с 25-го по 27-е соответствуют следующим значениям т:21701, 23209, 44497 (см. [3]). Показано (см. [4]), что нечетных С. ч. нет в интервале от 1 до 10⁵⁰.

Лит.:[1] Diсksоn L. E., History of the theory of numbers, v. 1, Wash., 1919, repr., N.-Y., 1952; [2] Nankar M. L., лGanita Bharati

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985