Математическая энциклопедия - совершенное отображение

непрерывное замкнутое отображение топологич. пространств, при к-ром прообразы всех точек бикомпактны. С. о. во многом аналогичны непрерывным отображениям бикомпактов в хаусдорфовы пространства (каждое такой отображение совершенно), но сферой действия имеют класс всех топологич. пространств. В классе вполне регулярных пространств С. о. характеризуются существованием у них непрерывного продолжения на нек-рые бикомпактные расширения, при к-ром наросты расширений отображаются в наросты. С. о. сохраняет метризуемость, паракомпактность, вес, полноту по Чеху в сторону образа; другие инварианты (напр., характер пространства) оно преобразует правильным образом. Класс С. о. замкнут относительно операций произведения и композиции. Сужение С. о. на замкнутое подпространство является С.

о. (не так обстоит дело для факторных и открытых отображений).

Названные свойства С. о. привели к тому, что класс этих отображений стал играть стержневую роль в классификации топологич. пространств. Прообразы метрич. пространств при С. о. охарактеризованы как паракомпактные перистые (р)-пространства. Класс паракомпактных р-пространств замкнут уже в обе стороны относительно С.

о. Важным свойством С. о. является возможность сузить каждое из них на нек-рое замкнутое подпространство, не уменьшая образа, так, чтобы получившееся отображение было неприводимым не допускало дальнейшего сужения на замкнутое подпространство без уменьшения образа. Неприводимые С. о. являются отправной точкой построения теории абсолютов топологич.

пространств. При неприводимом С. о. -вес образа всегда равен -весу отображаемого пространства и число Суслина образа равно числу Суслина отображаемого пространства. Если вполне регулярное Т 1 -пространство X отображается на вполне регулярное Т 1 -пространство Y посредством С. о., то Xгомеоморфно замкнутому подпространству топологич. произведения пространства У на нек-рый бикомпакт. Диагональное произведение С. о. и непрерывного отображения всегда является С. о., в частности диагональное произведение С. о. и уплотнения является гомеоморфизмом, и если топологическое пространство совершенно отображается и уплотняется на нек-рое (вообще говоря, другое) метрическое пространство, то оно само метризуемо.

Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [2] Бурбаки Н., Общая топология. .