Математическая энциклопедия - совершенное поле

поле k, любой многочлен над к-рым сепарабелен. Иначе говоря, любое алгебраич. расширение поля kсепарабельное расширение. Все остальные поля наз. несовершенными. Все поля характеристики 0 совершенны. Поле kконечной характеристики рсовершенно тогда и только тогда, когда k=kP, т. е. возведение в степень рявляется автоморфизмом поля k. Конечные поля и алгебраически замкнутые поля совершенны. Пример несовершенного поля поле Fq(X)рациональных функций над полом Fq, где Fq - поле из q=pⁿ элементов. С. п. kсовпадает с полем инвариантов группы всех k-автоморфизмов алгебраич. замыкания поля k. Любое алгебраич. расширение С. и. снова совершенно.

Для произвольного поля kхарактеристики р>0 с алгебраич. замыканием поле является наименьшим С. п., содержащим k. Оно наз. совершенным замыканием поля k в

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] 3арисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985