Математическая энциклопедия - сплайн-аппроксимация

приближенное представление функции или приближенное восстановление функции из заданного класса по неполной информации (напр., по значениям на сетке) с помощью сплайнов.

Как и в классич. теории приближения функций, изучаются линейные методы С.-а., включая сплайн-интерполяцию, наилучшие методы, а также аппроксимации классами нелинейных сплайнов, напр. сплайнами с нефиксированными узлами.

Наилучшие приближения сплайнами. Изучаются вопросы существования, единственности, характеристич. свойства наилучшего сплайна (н. с.) (см. Наилучшего приближения элемент), а также порядки, асимптотика и точные верхние грани уклонений сплайнов от заданного класса функций. Сплайны с фиксированными узлами не образуют Чебышева систему, поэтому в С[ а, b]нет единственности н. с. и характеристич. свойства н. с. сложнее, чем характиристич. свойства Наилучшего приближения многочлена (см. [8]).Однако в L[ а, b]для подкласса непрерывных, функций н. с., если они склеиваются из гладких функций, образующих систему Чебышева на [ а, b], обладают свойствами единственности [2]. Сплайны с фиксированной гладкостью, но с нефиксированными узлами (предполагается, что число узлов не превосходит заданного числа) не образуют замкнутого множества, поэтому здесь может не существовать н. с. Порядок приближения может быть охарактеризован следующим результатом [6]:

где полиномиальный сплайн степени тс узлами в точках сетки

модуль гладкости порядка kв Lq[ а, b]и функция f(x)имеет абсолютно непрерывную (l-1)-ю производную и l- юиз i=0,1,..., l-1. При в (1) можно iзаменить на i-1 и убрать множитель Более слабые аналоги неравенства (1) получены для многомерных сплайнов. Напр., если -пространство Соболева) и совокупность сплайнов (степени не выше kпо каждой переменной) с равномерными узлами и шагом hи область удовлетворяет строгому условию конуса (см. Вложения теоремы),то

Для равномерной сетки и класса порядок правой части в (1) при равен Если рассматривать приближение сплайнами степени тгладкости m-1 с нефиксированными узлами, число к-рых не превосходит п, то за счет выбора узлов можно добиться [7], чтобы порядок аппроксимации был равен п ^-m-1+i. Для наилучшего равномерного приближения нек-рых классов периодических функций полиномиальными сплайнами с равномерными узлами имеется ряд окончательных результатов. Напр., для класса где выпуклый модуль непрерывности, подсчитана верхняя грань уклонения от сплайнов степени r[4]. Она совпадает с соответствующим поперечником этого класса. Изучаются также наилучшие приближения сплайнами при дополнительных ограничениях на его старшую Производную [13]. В связи с изучением наилучших квадратурных формул естественно возникает задача наилучшего приближения специальной функции (b t)^r (см. Моносплайн). Линейные методы приближения сплайнам и начали изучать раньше наилучших приближении. При этом преимущественно изучались приближения. интерполяционными сплайнами (и. с.) (см. [1], [3], [5]). И. с. часто дают тот же порядок приближения, что и наилучшие; это является одним из преимуществ перед интерполированием многочленами. Так, если функция f(х)имеет непрерывную r-ю производную на то для приближения полиномиадьными и. с. Sn(x,h) степени с равномерными узлами интерполяции xi=ih, и узлами сплайна справедлива оценка [6].

При изучении и. с. с произвольными узлами в качестве параметра приближения выбирается максимальное расстояние между узлами интерполяции; обычно узлы интерполяции и узлы сплайна тесно связаны между собой. В приложениях наиболее широко используются полиномиальные и. с. S3(x)3-й степени кубические сплайны. Это связано с тем, что построение таких сплайнов сводится в большинстве случаев к решению системы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей, имеющей доминирующую главную диагональ. Решение таких систем легко реализуется на ЭВМ. Кроме того, если функция f(х)имеет непрерывную k-ю, производную на [ а, b], то имеют место оценки

где узлы интерполяции. При k=1, 2 константа с>0 не зависит от f и от сеток При k=0 и k=3 на последовательность сеток налагаются дополнительные ограничения. Аналог этого результата имеет место также для многомерных кубических сплайнов, а также для сплайнов большей степени.

И. с. нечетной степени обладает рядом экстремальных свойств. Напр., среди всех функций, имеющих абсолютно непрерывную ( т -1)-ю производную на [ а, b] и m-ю производную из L2 [ а, b]и принимающих в точках {xi}, a<x0<x1<. . .<xn<b, заданные значения {yi}, полиномиальный сплайн S2m-1(x) с узлами { х i}, принимающий в точках {xi} значения { у i}, имеющий непрерывную (2т-2)-ю производную на [ а, b]и совпадающий на [а, х 0 )и ( х п, b] смногочленами степени не выше т -1, имеет наименьшую норму т -й производной в L2 [ а, b]. Это свойство послужило основой для многочисленных обобщений сплайнов. Для нек-рых классов функций верхняя грань уклонений от и. с. совпадает с верхней гранью уклонений для н. с., напр. для класса при

Сплайны играют важную роль в задаче сглаживания [3], [5] сеточной функции, заданной с погрешностью. С помощью сплайнов строятся базисы [5] и ортонормированные базисы [9], Лебега константы к-рых ограничены.

Методы С.-а. тесно связаны с численным решением уравнений в частных производных методом конечных элементов, в основе к-рого лежит Ритца метод при специальном выборе базисных функций. В методе конечных элементов в качестве базисных функций выбираются кусочно полиномиальные функции, т. е. сплайны. Пусть, напр., ограниченная область из к-рую можно разложить на конечное число правильных треугольных подобластей Т i, Для фиксированного iмногочлен

определяется из условий

где функция f(р)непрерывна на и вершины треугольника Т i, а середины его сторон. Пусть S(р) = Р i (р) при i=0, 1, . . ., N. Если то

где h - длина стороны треугольника Ti и с-абсолютная постоянная.

Лит.:[1] Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж., Теория сплайнов и се приложения, пер. с англ., М., 1972; [2] Галкин П. В., лМатем. заметки

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985