Математическая энциклопедия - сравнения теорема

в теории дифференциальных уравненийтеорема, утверждающая наличие определенного свойства решений дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) в предположении, что нек-рым свойством обладает вспомогательное уравнение или неравенство (система дифференциальных уравнении пли неравенств).

П р и м е р ы С. т. 1) Теорема Ш т у р м а: любое нетривиальное решение уравнения

обращается в нуль на отрезке [t0, t1] не более траз если этим свойством обладает уравнение

и при (см. [1]). 2) Дифференциальное неравенство: решение задачи

покомпонентно неотрицательно при если этим свойством обладает решение задачи

и выполнены неравенства

Другие примеры С. т., в том числе теорема Чаплыгина, см. в ст. Дифференциальное неравенство. О С. т. для дифференциальных уравнений с частными производными см., напр., [3].

Богатым источником для получения С. т. служит принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова (см. [4] -[7]). Идея принципа сравнения состоит в следующем. Пусть заданы система дифференциальных уравнений

и вектор-функции

V(t, x) =(V1(t, х),..., Vm(t, x)), W(t, v) =(W1(t, v),.... Wm(t, v)), где v=(v1, . . ., vm). Для любого решения х(t)системы (1) функция vj(t)=Vj(t,x(t)), j=1, . . ., т, удовлетворяет равенству

Поэтому если выполнены неравенства

то на основе свойств системы дифференц. неравенств

можно судить о поведении функций Vj(t, x(t)), являющихся решениями системы (3). В свою очередь, знание поведения функций Vj(t, x )на каждом решении х(t)системы (1) позволяет выносить суждения о свойствах решений системы (1).

Напр., пусть вектор-функции V(t, x), W(t, v )удовлетворяют неравенствам (2) и для любых существует число М>0 такое, что

при всех Пусть, далее, каждое решение системы неравенств (3) определено на Тогда каждое решение системы (1) также определено на

Большое число содержательных утверждений получено на основе принципа сравнения в теории устойчивости движения [см. [4] [6]). Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова с успехом применяется для дифференциального уравнения абстрактного, дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом, дифференциального включения. В частности, для дифференциального включения где F(t, x) - множество в зависящее от роль неравенств (2) играют неравенства

Большое число теорем сравнения приведено в [8].

Лит.:[1] Sturm С., лJ. math, pures et appl.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985