Математическая энциклопедия - сравнение по простому модулю

сравнение, в к-ром модуль является простым числом. Отличительной чертой теории С. по п. м. является то, что классы вычетов по модулю . образуют конечное поле из рэлементов. Поэтому С. по п. м. можно трактовать как уравнения над простыми конечными полями и применять для их изучения, наряду с методами теории чисел, алгебро-геометрические методы.

Одним из основных вопросов теории сравнений от одного переменного х, имеющим важное значение в теории алгебраич. чисел, теории кодирования и других разделах математики, является вопрос об изучении законов разложения

по простому модулю рпроизвольных целочисленных многочленов f(х)на неприводимые сомножители.

Основным вопросом теории С. по п. м. . от переменных является вопрос о числе решений алгебраических сравнений

когда независимо друг от друга пробегают или все множество классов вычетов по модулю р(задачи на полную систему вычетов), или же нек-рую его собственную часть (задачи на неполную систему вычетов).

Первые результаты в исследовании вопроса о числе решений квадратичных и биквадратичных сравнений с двумя переменными были получены К. Гауссом [1] и Ж. Лагранжем [2]. Э. Артином [3] была установлена связь задачи о числе решений гиперэллиптич. сравнений на полной системе вычетов по простому модулю рс гипотезой Римана для введенных им -функций полей алгебраич. функций с конечным полем констант. В частности, им была высказана гипотеза, что для числа Np решений сравнения где многочлен f(х)=х ⁿ -а1 х ^n-1 +....+a п не является квадратом другого многочлена по модулю р, справедлива оценка

(здесь [х]целая часть числа х).

Гипотеза Артина впервые была доказана X. Хассе [6] для случая эллиптич. сравнений

Позже А. Вейль [8] распространил метод Хассе на общий случай и получил для числа Nq решений уравнения f( х, y)=0 в элементах поля Fq, состоящего из q=p^r элементов, где f( х, у) - абсолютно неприводимый многочлен с коэффициентами из Fq, оценку

Метод Хассе Вейля сложен и требует привлечения современного аппарата абстрактной алгебраич. геометрии. В работе [7] найден простой и чисто арифметич. метод доказательства результатов Хассе Вейля.

Менее изучены С. по п. м. от ппеременных. В качестве общего результата здесь можно указать следующую теорему. Пусть f(x1, . . ., х п )абсолютно неприводимый многочлен с целыми рациональными коэффициентами. Тогда для числа N р решений сравнения

имеет место оценка

где константа с(f) не зависит от р. Более сильная оценка получена П. Делинем [9].

О С. по п. м. на неполной системе вычетов см. Виноградова гипотезы, Двучленное сравнение, Распределение степенных вычетов и невычетов.

Лит.:[1]Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, пер. с нем., М., 1959; [2] Lagrange J. L., Oeuvres, t. 3, P., 1869, p. 189-201; [3] Аrtin E., лMath. Zeitschrift

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985