Математическая энциклопедия - сравнение от нескольких переменных

сравнение вида

где f(x1,, . . ., х п) - многочлен от переменных с целыми рациональными коэффициентами, не все из к-рых делятся на т. Разрешимость такого сравнения для составного модуля где р 1, . . .,ps - различные простые числа, равносильна разрешимости сравнений

для всех i=l, . . ., s. При этом число Nрешений сравнения (1) равно произведению N1. . -.Ns, где Niчисло решений сравнения (2). Таким образом, при изучении сравнений вида (1) достаточно ограничиться модулями, являющимися степенями простых чисел. Для разрешимости сравнения

необходимо, чтобы было разрешимо сравнение

по простому модулю р. В невырожденных случаях разрешимость сравнения (4) является также и достаточным условием для разрешимости сравнения (3). Точнее, справедливо следующее утверждение: каждое решение сравнения (4) такое, что

хотя бы для одного i=l, 2, . . ., ппорождает решений сравнения (3), причем при i=l, 2, ...,n.

Итак, в невырожденном случае вопрос о числе решений сравнения (1) по составному модулю тсводится к вопросу о числе решений сравнений вида (4) по простым модулям р, делящим т. Если f(x1, . . ., х п) - абсолютно неприводимый многочлен с целыми рациональными коэффициентами, то для числа N р решений сравнения (4) имеет место оценка

где константа С(f) зависит только от многочлена f и не зависит от р. Из этой оценки, в частности, следует, что сравнение (4) разрешимо для всех простых р, больших нек-рой эффективно вычислимой константы С 0(f), зависящей от данного многочлена f(x1,, . . ., х п) (см. также Сравнение по простому модулю). Более сильный результат в этом вопросе получен П. Делинем [3].

Лит.:[1] Боревич З. И., Шафаревич П. р., Теория чисел, 2изд., М., 1972; [2] Xассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; [3] Deligne P., лPubl. Math. IHES

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985