Математическая энциклопедия - уолла инвариант

элемент из Уолла группы, являющийся препятствием к перестройке бордизма до простой гомотонич. эквивалентности.

Пусть X - конечный Пуанкаре комплекс, v - расслоение над Xи нек-рый класс, где т - формальная размерность Xи имеет степень 1. Отображение всегда можно перестроить до -связного отображения. Пусть групповое кольцо, и инволюция в нем: задаваемая по формуле где определяется первым Штифеля Уитни классом расслоения v. Пусть

(коэффициенты в кольце Инволюция является антиизоморфизмом и определены группы Уолла

Пусть теперь Тогда в стабильно свободном -модуле выделен базис, и Пуанкаре двойственность индуцирует простой изоморфизм причем является (-1)^k -формой. Поэтому получается класс

Пусть теперь Можно выбрать образующие в так, что они представляются вложениями образы к-рых не пересекаются, и эти образы соединены путями с отмеченной точкой. Пусть Поскольку то можно заменить гомотопным отображением и считать, что Так как X - комплекс Пуанкаре, то можно заменить Xкомплексом с единственной m-клеткой, т. е. имеется пара Пуанкаре (Х 0, S^m+1 )и Выбором подходящей клеточной аппроксимации получается отображение для триад Пуанкаре степени

Следовательно, имеется диаграмма из точных последовательностей (см. рис.):

При этом имеется невырожденное спаривание причем квадратичная (-1)k-форма, а и определяют ее лагранжевы плоскости L и Р. Тогда

Определенные выше элементы и наз. инвариантами Уолла. Важным их свойством является независимость от произвола конструкции и то, что равенство равносильно представимости класса простой гомотопич. эквивалентностью, см. [1].

Лит.:[1] Wаll С., Surgery on compact manifolds, L.N. Y., 1970; [2] Raniсki A., лProc. Lond. Math. Soc.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985