Математическая энциклопедия - верхний и нижний пределы

1) В. и н. п. последовательности наибольший, и соответственно, наименьший, предел среди всех частичных пределов (конечных и бесконечных) данной последовательности действительных чисел. Для любой последовательности действительных чисел множество всех ее частичных пределов (конечных и бесконечных) на расширенной числовой прямой (т. е. в множестве действительных чисел, пополненном символами ) не пусто и имеет как наибольший, так и наименьший элементы (конечный пли бесконечный). Наибольший элемент множества частичных пределов наз. верхним пределом (в. п.) последовательности и обозначается

наименьший элемент нижним пределом (н. п.) н обозначается

Напр., если

то

если

то

если

то

У всякой последовательности существует в. п. (н. п.), при этом, если последовательность ограничена cверху (снизу), то ее в. п. (н. п.) конечен. Для того чтобы число а было в. п. (соответственно н. п.) последовательности необходимо н достаточно, чтобы для любого выполнялись условия: а) существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство ; б) для любого номера пД существует такой номер , что Условие а) означает существование при любом фиксированном в последовательности лишь конечного числа таких членов , что . Условие б) означает существование бесконечного множества таких членов , что . Понятие н. п. сводится к понятию в. п. с помощью изменения знака у членов последовательности:

Для того чтобы последовательность имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов ), необходимо и достаточно, чтобы

2) В. п. (н. п.) функции в точке предел верхних (нижних) граней множеств значений функции в окрестности точки , когда эти окрестности стягиваются к точке . Он обозначается

Пусть функция определена на метрич. пространстве и принимает действительные значения на Если есть -окрестность точки то

соответственно