Математическая энциклопедия - вероятностное пространство

поле вероятностей,совокупность непустого множества , класса подмножеств множества Q, являющегося борелевским полем (т. е. замкнутым относительно теоретико-множественных операций, производимых в счетном числе) и распределения ( вероятностной мери) на . Понятие В. п. принадлежит А. Н. Колмогорову [1]. Точки множества наз. элементарными событиями, а само множество пространством элементарных событий. Принадлежащие подмножества множества наз. (случайными) событиями. Нередко ограничиваются рассмотрением лишь полных В. п., то есть пространств, удовлетворяющих требованию . Если произвольное В. п., то класс множеств вида , где и образует борелевское поле а функция на определяемая формулой есть распределение на Пространство полно и наз. пополнением . Иногда также ограничиваются рассмотрением лишь совершенны х В. п., то есть таких, что для любой действительной -измеримой функции f и любого множества Ена прямой, для к-рого существует борелевское множество Втакое, что и . В рамках совершенных В. п. невозможны нек-рые "патологические" явления (связанные с существованием условных вероятностей, определением независимых случайных величин и т. д.), возникающие в общей схеме. Не всегда тривиален вопрос о существовании В. п., удовлетворяющего тем или иным специальным требованиям. Одним из результатов такого рода является фундаментальная теорема Колмогорова о согласованных распределениях: пусть каждому упорядоченному конечному набору элементов множества Тотвечает распределение на борелевских множествах евклидова пространства и пусть выполнены следующие условия согласованности:

Тогда на наименьшем борелевском поле подмножеств произведения относительно к-рого'измеримы все координатные функции существует распределение такое, что для любого конечного подмножества множества Ти любого и-мерного борелевского множества Всправедливо равенство:

Лит.:[l] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974; [2] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 1949; [3] Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969. В. В. Сазонов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985