Математическая энциклопедия - верхних и нижних функций метод

метод доказательства существования решения краевых задач для дифференциальных уравнений.

Идея В. н н. ф. м. для случая обыкновенных дифференциальных уравнений усматривается в работах Дж. Пеано (G. Peano, 1880), для случая Дирихле задачи и для Лапласа уравнения - в выметании методе А. Пуанкаре (Н. Poincare); первое полное изложение В. и н. ф. м. для этого последнего случая дано О. Перроном [1].

Пусть поставлена задача Дирихле в области Gпространства для линейного однородного эллиптич. уравнения 2-го порядка с непрерывными коэффициентами вида

В. и н. ф. м. состоит в том, что, в предположении разрешимости задачи (1), (2) в малом, вводятся обобщенные супергармонич. функции (соответственно субгармонические). Непрерывная на области G функция vназ. обобщенной супергармонпческой функцией (соответственно субгармонической) в области G, если для любого достаточно малого шара справедливо неравенство (соответственно ), где непрерывная на Gфункция, равная вне и на его границе и удовлетворяющая внутри уравнению (1). Для непрерывной на границе функции f обобщенная супергармонич. (соответственно субгармоническая) функция vназ. верхней (соответственно нижней), если для справедливо неравенство (соответственно ). Классы и всех, соответственно, верхних и нижних функций не пусты, причем если и (см. [3]). Обобщенное решение задачи Дирихле определяется как нижняя огибающая класса или как верхняя огибающая класса

Если граница допускает существование барьера в каждой своей точке, то всюду на , т. е. и - классич. решение задачи Дирихле. В общем случае поведение обобщенного решения (3) эллиптич. уравнения (1) в точках границы совершенно аналогично поведению обобщенного решения уравнения Лапласа; см. Перрона метод.

В. и н. ф. м. применяется также при исследовании первой краевой задачи для линейного однородного па-раболич. уравнения 2-го порядка вида

с начальным условием

и краевым условием

если ввести суперпараболические (субпараболические) функции, аналогичные по своим свойствам обобщенным супергармоническим (субгармоническим) функциям (см.[4]).

Лит.:[1] Perron О., "Math. Z.", 1923, Bd 18, № 1/2, S. 42-54; [2] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [4] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 4, 3 изд., М., 1957. Л. И. Камынин, Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985