Математическая энциклопедия - вырожденное гипергеометрическое уравнение

конфлюэнтное уравнение линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка

или, в самосопряженной форме,

Переменные и параметры в общем случае могут принимать любые комплексные значения. Приведенной формой уравнения (1) является Уиттекера уравнение. Уравнение (1) тесно связано с гипергеометрическим уравнением. В. г. у. можно рассматривать как уравнение, получающееся из Римана дифференциального уравнения при слиянии двух особых точек. Точка является для уравнения (1) регулярной особой точкой, а точка сильно особой (см. Особая точка дифференциального уравнения). Впервые систематич. изучение решений уравнения (1) предпринял Э. Куммер [1].

Решения уравнения (1) выражаются через вырожденную гипер геометрическую функцию Если не равно целому числу, то общее решение уравнения (1) можно записать в виде

где произвольные постоянные; это представление справедливо в комплексной плоскости с разрезом . Для целых значений общее решение имеет более сложный вид (возможно существование членов, содержащих логарифмы). В качестве фундаментальной системы решений уравнения (1) можно выбирать и иные функции, отличные от указанных в (2) (напр., Уиттекера функции, см. [2], [3]). Решение уравнения (1) может быть представлено также через контурные интегралы в комплексной плоскости .

Многие линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 2-го порядка (напр., Бесселя уравнение).преобразованием неизвестной функции и независимой переменной приводятся к уравнению (1) (см. [4]). В частности, уравнение вида

интегрируется с помощью вырожденной гипергеомет-рич. функции.

Лит.:[1] Кummеr Е., "J. reine und angew. Math.", 1836, Bd 15, S. 39-83, 127-72; [2] Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [3] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра, пер. с англ., М., 1965; [4] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985