Математическая энциклопедия - вырожденное интегральное уравнение

линейное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром. Общий вид В. и. у.:

Интегрирование производят по области D(вообще n-мерного) евклидова пространства, точки из действительный или комплексный параметр, а функции, входящие в (1), суммируемы с квадратом на D. Решение В. и. у. (1) ищется в виде

Коэффициенты находятся из системы линейных алгебраич. уравнений

Если система (2) при заданном имеет единственное решение, то уравнение (1) также однозначно разрешимо. Те значения (их не более N), при к-рых определитель системы (2) равен 0, являются собственными значениями. Условия разрешимости В. и. у. (1) даются Фредголъма альтернативой. При В. и. у. (1) есть уравнение Фредгольма I рода; для его разрешимости необходимо и достаточно, чтобы функция f могла быть представлена в виде линейной комбинации функций

. Тогда В. и. у. (1) имеет решение, представимое в виде

при этом коэффициенты определяются однозначно, а есть функция, удовлетворяющая условиям

Важность В. и. у. для общей теории уравнений Фредгольма обусловлена тем, что решение любого уравнения Фредгольма II рода может быть с любой точностью в среднем квадратическом (и в нек-рых других метриках) приближено решениями В. и. у. Их вырожденные ядра в том или ином смысле аппроксимируют ядро исходного уравнения.

Абстрактным аналогом и обобщением В. и. у. служит линейное операторное уравнение вида

где и принадлежат банахову пространству , а оператор Аимеет конечномерную область значений. Свойства таких уравнений аналогичны свойствам В. и. у. (1).

Лит.:[1] Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., 1959. А. В. Бакушинский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985