Математическая энциклопедия - замкнутая геодезическая

замкнутая гладкая кривая на римановом многообразии М, к-рая является геодезической линией. Более общее понятие геодезическая петля, т. е. геодезическая y(t)(), проходящая при t=a и t=b через одну

и ту же точку р;рассматриваемая как замкнутая линия, она может иметь "излом" в точке р. Геодезич. петля является 3. г. только в том случае, когда такого излома нет, т. е. когда y(t)при t=a и при t=b имеет одну и ту же касательную. Замкнутые траектории геодезического потока в пространстве ТМ касательных векторов к Мпроектируются в 3. г. при естественной проекции Кривая, получающаяся, когда одна и та же 3. г. обходится несколько раз, наз. кратной 3. г. Если 3. г. не является кратной, то она наз. простой 3. г.

Определение 3. г. и геодезич. петли дословно переносится на тот случай, когда Мснабжено финслеровой метрикой или аффинной связнрстъю. Если же Мметрич. пространство (в этом случае геодезич. линия определяется как локально кратчайшая линия), то определение геодезич. петли сохраняется дословно, тогда как определение 3. г. нужно несколько изменить, поскольку нельзя говорить о гладкости или изломе. Геодезич. петля g(t).(), где у(а) = у(b)=р и g не постоянна ни на каком отрезке, будет 3. г., если при достаточно малом e>0 линия

(состоящая из двух дуг линии g:. первая дуга соединяет g(b-e) с g(b)=р, вторая соединяет р=g{а). с g(a+e)) является кратчайшей линией между своими концами g(b-e). и g( а+e).

Исследования 3. г. проводились главным образом для 3. г. на замкнутых римановых многообразиях; имеется также ряд результатов для финслеровых многообразий; нек-рые результаты получены и в более общем случае метрич. пространств с нек-рыми специальными свойствами (так наз. G-пространства Буземана, см. Геодезических геометрия)[1]. Эти исследования были начаты Ж. Адамаром [2], А. Пуанкаре (Н. Poincare [3]) и Дж. Биркгофом [4].

Ж. Адамар положил начало исследованиям геодезич. линий (не обязательно замкнутых) на многообразиях отрицательной кривизны. Основные современные результаты относятся к случаю замкнутых многообразий М, кривизна к-рых отрицательна по всем двумерным направлениям во всех точках. Относительно 3. г. на таком Мдоказано, что замкнутые траектории геодезич. потока всюду плотны в ТМ (см. [5]) (аналогичное явление наблюдается и в ряде примеров с положительной кривизной, но не всегда [6]); имеется оценка роста числа 3. г., длина к-рых не превосходит l, с увеличением l(см. [7]). Ж. Адамар аппроксимировал длинные отрезки незамкнутых геодезических с помощью 3. г., что можно считать началом символической динамики.

К Ж. Адамару восходит также теорема, дающая нек-рую информацию о 3. г. на замкнутом многообразии М(уже без каких-либо предположений о кривизне) в терминах свойств фундаментальной группыp1 (М). Ориентированная замкнутая кривая gопределяет некоторый класс сопряженных элементов [g]группы p1 (М);все такие кривые, отвечающие одному классу, получаются друг из друга посредством свободной гомотопии. Оказывается, что для каждого класса Ксопряженных элементов p1 (М), кроме класса, состоящего из единицы этой группы, среди всех замкнутых кривых gс [g]= К существуют кратчайшие, и они являются 3. г. Эта теорема (справедливая не только для римановых или финслеровых метрик, но и в общем случае G-пpoстранств Буземана) является простейшим и исторически первым результатом вариационного исчисления в целом. Однако возникновение последнего как самостоятельного направления связано с более сложным применением вариационных методов к исследованию 3. г. на многообразиях, гомеоморфных сфере, для к-рых (как и вообще для односвязных многообразий) предыдущая теорема бессодержательна.

Вопрос о 3. г. на таких многообразиях поставил А. Пуанкаре (точнее, у него речь шла об овалоиде, т. е. двумерной замкнутой выпуклой поверхности). Он предположил, что в "общем" случае на овалоиде имеются три 3. г. без самопересечений, причем две из них устойчивы в линейном приближении, а одна неустойчива. Такая связь вопроса о существовании 3. г. и оценке их числа с вопросом об их свойствах устойчивости составляет существенную особенность эвристических рассуждений А. Пуанкаре, связанных преимущественно с теорией динамич. систем. Эти рассуждения могут быть проведены вполне строго, однако только для метрик, достаточно близких к "стандартной" (обычной метрике на сфере x²+y²+z²=l в евклидовом пространстве, см. [8]). Для метрик, далеких от стандартной, предполагавшиеся А. Пуанкаре свойства устойчивости 3. г. могут не иметь места [9].

Открытие вариационного подхода к вопросу о 3. г. на односвязных многообразиях принадлежит Дж. Биркгофу [4]. Он доказал, что на многообразии, гомеоморфном сфере, существует хотя бы одна 3. г.; в частности, предположение о существовании на двумерной сфере трех 3. г. без самопересечений было доказано Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом (см. [10]).

Имеются работы о свойствах 3. г. для "типичных" римановых (или финслеровых) метрик (т. е. образующих множество второй категории в пространстве всех метрик данного класса гладкости) (см. [11] [13]).

Стандартная метрика на сфере обладает тем свойством, что все ее геодезические замкнуты и имеют одинаковую длину; на сфере имеются и другие метрики с тем же свойством [14]. Исследовался также вопрос о топологич. свойствах многообразия и о метрике на нем, если последняя обладает указанным свойством или каким-нибудь вариантом такового.

Подробное изложение теории 3. г. см. в [15].

Лит.:[1] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; [2] Hadamard J., "J. math pure appl.", 1898, t. 4, p. 27-75; [3] Пуанкаре А., Избр. труды, М., 1972, т. 2, с. 735-74; [4] Вirkhоff G. D., "Trans. Amer. Math. Soc", 1917, v. 18, p. 199-300; [5] Аносов Д. В., Геодезические потони на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, М., 1967; [6) We instein А., "С. г. Acad. sci.", 1970, t. 271, А504; [7] Синай Я. Г., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1966, т. 30, в. 6, с. 1275-96; [8] Грюнталь А. И., "Успехи матем. наук", 1977, т. 32, в. 4, с. 244-45; [9] его же, там же, в. 5, с. 166; [10] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., там же, 1947, т. 2, в. 1, с. 166217; [11] Abraham R., в кн.: "Global Analysis, N. Y., 1970 (Proc. Symp. Pure Math., v. 14), p. 1-3; [12] К1ingenberg W., Так ens F.,"Math. Ann.", 1972, Bd 197, № 4, S. 323-34; [13] Klingenberg W., "J. differential geometry", 1976, v. 11, p. 299 308; [14] Zoll O., "Math. Ann.", 1903, Bd 57, S. 108-33; [15] Klingenberg W., Lectures on closed geodesies, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, № 230, В.-Hdlb.-N. Y., 1978.

Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985