Математическая энциклопедия - замена базы

теоретико-категорная конструкция, частными случаями которой являются понятие индуцированного расслоения в топологии, а также понятие расширения кольца скаляров в теории модулей.

Пусть Скатегория с расслоенными произведениями и g: морфизм этой категории. 3. б. при помощи морфизма gесть функтор из категории S-объектов (т. е. из категории морфизмов f: где Xобъект из С)в категорию S'-объектов, сопоставляющий S-объекту f: S'-объект f': где а морфизм f' есть проекция на второй сомножитель. Морфизм gпри этом наз. морфизмом замены базы. Говорят также, что объект X' получен З. б. из объекта X.

Частным случаем понятия З. б. является понятие слоя морфизма f: схемы S. А именно, слой морфизма fнад точкой есть схема

т. е. схема, получаемая из X З. б. при помощи естественного морфизма Аналогично определяется геометрический слой Xs, он получается З. б. при помощи морфизма Specсвязанного с точкой S, где Калгебраически замкнутое поле. Многие свойства S-схемы Xсохраняются при 3. б. Обратная задача восстановление свойств схемы Xпо свойствам схемы, полученной из X3. б., рассматривается в теории спуска (см. также [3]).

Пусть морфизм f': получен 3. б. при помощи g:из морфизма f: т. е. задан декартов квадрат

И пусть Fпучок множеств на X. Тогда существует естественное отображение пучков Если Fпучок абелевых групп, то для каждого существует естественный гомоморфизм пучков

При этом y и yq также наз. морфизмам и замены базы. Принято говорить, что справедлива теорема о замене базы, если yили, соответственно, yq являются изоморфизмами. Иначе говоря, теорема о 3. б. это утверждение о согласованности (коммутировании) функторов R^qf* с функтором замены базы. В частности, если gесть вложение точки то теорема о 3. б. означает существование естественного изоморфизма: между слоем q-го прямого образа пучка Fи q-мерной группой когомологий слоя морфизма f. Теорема о 3. б. справедлива в следующих ситуациях: 1) f собственное отображение паракомпактных топологич. пространств, Sлокально компактное пространство [1]; 2) f отделимый квазикомпактный морфизм схем, gплоский морфизм, Fквазикогерентный пучок О X- модулей (теорему о сравнении когомологий обычных и формальных схем (см. [2]) также можно интерпретировать как теорему о 3. б.); 3) f собственный морфизм схем, Fпучок кручения в этальной топологии. Некоторые другие случаи, в к-рых справедлива теорема о 3. б., рассмотрены в [3].

Лит.:[1] Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [2] Grothendieck A., Dieudonne J., Elements degeometrie algebrique, P., 1961, (Publ. math. IHES, № 11); [3] Theorie des topos et cohomologie etale des schemes, В., 1973.

В. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985