Математическая энциклопедия - банаха - мазура функционал

Банаха Мазура оператор, концепция вычислимого функционала (оператора), предложенная С. Банахом (S. Banach) и С. Мазуром (см. [1]) и трактующая вычислимость функционала (оператора), действующего из множества М 1 в множество М 2 , как его свойство переводить всякую вычислимую последовательность элементов М 1 в вычислимую последовательность элементов М 2 (см. Вычислимая функция).

Пусть R - множество всех одноместных общерекурсивных функций. Функционал Ф, определенный на Rи принимающий натуральные значения, наз. вычислимым по БанахуМазур у, или Б.М. ф., если для всякой двухместной общерекурсивной функции существует общерекурсивная функция такая, что

(здесь рассматривается как функция от при каждом фиксированном п). Всякий общерекурспвный функционал и всюду определенный эффективный функционал (см. Конструктивное метрическое пространство).являются Б.М. ф. С другой стороны, был построен пример Б.М. ф., не совпадающего ни с каким общерекурсивным, а следовательно, и ни с каким эффективным функционалами (см. [2]). Важнейшим свойством Б.М. ф. является их непрерывность (см. [1]): значения таких функционалов на любой общерекурсивной функции определяются лишь конечным числом значений этой функции.

Вышеописанная концепция вычислимости распространяется на функции действительного переменного. Пусть С - множество вычислимых последовательностей вычислимых действительных чисел; каждая последовательность задается парой общерекурсивных функций и таких, что при всех

Функция действительного переменного ф наз. вычислимой по БанахуМазуру (множество таких функций обозначим ), если для любой последовательности из последовательность также принадлежит С. Каждая функция непрерывна во всех вычислимых точках (см. [1]; таким образом, напр., sgn ). Вопрос о том, являются ли все функции из вычислимо непрерывными, остается открытым (1977). Множество оказывается замкнутым относительно ряда используемых в анализе операций, что позволяет успешно развивать на его базе вычислимый анализ (см. [1]).

Лит.:[1] Мazur S., Computable analysis, Warsz., 1963; [2] Friedberg R. M., "Bull. Acad. polon. sci. Ser. sci. math., astron. et phys.", 1958, t. 6, № 1, p. 1-5; [3] Маркoв А. А., "Тр. Матем. ин-та. АН СССР", 1958, т. 52, с. 315-48; [4] Роджерс X., Теория рекурсивных функции и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972. Б. А. Кушнер.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985