Математическая энциклопедия - банахова решетка

банахова структура,-векторная решетка (структура), являющаяся одновременно банаховым пространством с нормой, удовлетворяющей условию монотонности:

Б. р. наз. также -линеалом, а произвольную нормированную, т. е. векторную решетку с монотонной нормой линеалом. При пополнении нормированной решетки по норме порядковые отношения могут быть распространены на получающееся банахово пространство так, что оно оказывается Б. р. Если в решетке можно ввести банахову топологию, превращающую ее в Б. р., то такая топология единственна. Простейший пример Б. р.пространство непрерывных функций на произвольном компактном топологич. пространстве с естественным упорядочением и с обычной (равномерной) нормой. Другие примеры Б. р.пространства , пространства Орлича. В Б. р. сходимость по норме есть сходимость для сходимости с регулятором. В нормированной решетке это не так.

Важный частный случай Б. р. ограниченных элементов. Если в решетке Xимеется сильная единица , т. е. для каждого существует такое , что , то наименьшее , для к-рого это неравенство справедливо, принимается за . Полученная нормированная решетка наз. нормированной решеткой ограниченных элементов; если же она полна по норме, то она наз.