Математическая энциклопедия - диагональный оператор

оператор D, определенный на линейной оболочке базиса в нормированном (или только локально выпуклом) пространстве Xравенствами комплексные числа. Если Dнепрерывный оператор, то

если Xбанахово пространство, то это условие в том и только в том случае равносильно непрерывности D, когда безусловный базис в X. Если ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н, то Dнормальный оператор, причем а спектр Dсовпадает с замыканием множества {lk: k=1, 2, . ..}. Нормальный и вполне непрерывный оператор Nявляется Д. о. в базисе своих собственных векторов; сужение (даже нормального) Д. о. на его инвариантное подпространство не обязательно, вообще говоря, будет Д. о.; любой нормальный оператор Nв сепарабельном пространстве Нпри любом e>0 может быть представлен в виде N=D+C, где DД. о., Свполне непрерывный оператор и ||С||<e.

Д. о. в широком смысле слова это оператор Dумножения на комплексную функцию l в прямом интеграле гильбертовых пространств

т. е.

См. Диагонально клеточный оператор.

Лит.:[1] Singer I., Bases in Banach spaces, v. I, B., 1970; [2] Wermer J., "Proc. Amer. Math. Soc", 1952, v. 3, № 2, p. 270-77; [3] Bergl. D., "Trans. Amer. Math. Soc", 1971, v. 160, p. 365 71.

Я. К. Никольский, Б. С. Павлов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985