Математическая энциклопедия - диагонализируемая алгебраическая группа

аффинная алгебраич. группа G, изоморфная замкнутой подгруппе алгебраического тора. Таким образом, Gизоморфна замкнутой подгруппе мультипликативной группы всех диагональных матриц нек-рого фиксированного порядка. Если Gопределена над полем k и указанный изоморфизм определен над к, то Д. а. г. G наз. разложимой (или расщепимой) над k.

Всякая замкнутая подгруппа H в Д. а. г. G, а также образ Gпри любом рациональном гомоморфизме j являются Д. а. г. Если к тому же группа Gопределена и. разложима над полем к, а ср определен над k, то и Ни. j(G) определены и разложимы над k.

Д. а. т. G разложима над ктогда и только тогда, когда. каждый элемент из группы G всех ее рациональных характеров является рациональным над к. В случае, если: в Gнет неединичных рациональных над кэлементов,. Д. а. г. Gназ. анизотропной над k. Всякая Д. а. г. G, определенная над полем k, разложима над, нек-рым конечным сепарабельным расширением поля k.

Д. а. г. Gсвязна тогда и только тогда, когда она является алгебраич. тором. Связность Gэквивалентна, также отсутствию кручения в группе G. Для произвольной Д. а. г. G, определенной над к, группа Gявляется конечно порожденной абелевой группой, не имеющей р-кручения, где рхарактеристика поля k.

Произвольная определенная и разложимая над полем kД. а. г. Gявляется прямым произведением конечной абелевой группы и алгебраич. тора, определенного и разложимого над к. В любой связной определенной над полем кД. а. г. Gимеется наибольший анизотропный подтор Ga и наибольший разложимый над кподтор Gd, для которых G=GaGd и конечное множество.

Если Д. а. г. Gопределена над полем k и Г группа Галуа сепарабельного замыкания поля к, то снабжается непрерывным действием группы Г. Если при этом рациональный гомоморфизм двух Д. а. г., причем G, Н и j определены над полем к, то индуцированный j гомоморфизм является Г-эквивариантным (т. е. является гомоморфизмом Г-модулей). Возникающий таким образом контравариантный функтор из категории диагонализируемых k-групп и их k-морфизмов в категорию конечно порожденных абелевых групп без р-кручения с непрерывным действием группы Г и их Г-эквивариантных гомоморфизмов оказывается эквивалентностью указанных категорий.

Лит.:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Оnо Т., "Ann. Math.", 1961, v. 74, MS 1, p. 101 39.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985