Математическая энциклопедия - движений группа

непрерывная группа преобразований пространства, элементами к-рой являются движения этого пространства, а групповой операцией последовательное выполнение в указанном порядке двух движений. В широком смысле, любая группа непрерывных преобразований пространства может быть сделана Д. г. этого пространства. А именно, введение для заданной группы понятия равенства фигур приводит к нек-рой новой геометрии, в к-рой эта группа служит Д. г. (см. Эрлангенская программа).

Д. г. наз. транзитивной Д. г., если для любых двух точек пространства можно указать в данной группе движение, к-рое переводит одну точку в другую, и интранзитивной Д. г., если существуют пары точек, для к-рых такого движения указать нельзя.

Пространство, в к-ром можно ввести заданную Д. г., наз. пространством, допускающим эту Д. г. Если Д. г. пространства имеет максимальный порядок, то она наз. полной Д. г. Напр., полная транзитивная Д. г. re-мерного евклидова пространства есть группа порядка n(n+1)/2, т. е. группа, зависящая от ( п+1)/2 параметров. В частном случае евклидовой плоскости в качестве параметров полной Д. г. можно взять координаты точки, в к-рую переходит начало координат, и угол поворота, т. е. эта Д. г.трехпараметрическая. Д. г. Gевклидовой плоскости есть некоммутативная разрешимая группа. Ее подгруппа вращений Нкоммутативна и интранзитивна, а подгруппа Nпараллельных переносов коммутативна и транзитивна и является нормальным делителем Д. г. Пересечение этих двух подгрупп единица Д. г. Факторгруппа G/N изоморфна Н, коммутант Д. г. Gсодержится в N. В качестве параметров полной Д. г. трехмерного евклидова пространства можно взять координаты точки О( а, b, с), в к-рую переходит начало, и эйлеровы углы, т. е. эта Д. г.шестипараметрическая.

Исследования по Д. г. в обобщенных дифференциально-геометрич. пространствах ведутся одновременно по нескольким направлениям, важнейшими из к-рых являются следующие.

1) Направление теоретико-группового характера [3]. Это построение в пространстве, в к-ром действует группа преобразований, инвариантной метрики или связности.

2) Изучение Д. г. в заданных пространствах, т. е. групп, к-рые допускает пространство с заданной метрикой или связностью (см. [1], [2]).

3) Направление, пограничное с первыми двумя и состоящее в изучении лакун и лакунарных пространств, т. е. либо построение пространств, допускающих полную Д. г. заданного порядка, либо доказательство несуществования пространств определенного типа, допускающих ту или иную заданную Д. г.

Напр., n-мерное аффинное пространство допускает Д. г. максимального порядка r=n²+n. Порядки Д. г. других пространств аффинной связности принадлежат отрезку натурального ряда [1, n²+n], но не каждое число из этого отрезка может быть порядком полной Д. г.

Интервалы наибольшей длины, составленные из чисел, не являющихся порядками полных Д. г., наз. лакунами, а дополнения к ним до указанного отрезка натурального ряда отрезками конденсации. Пространство наз. пространством k- йлакунарности, если порядок его полной Д. г. принадлежит отрезку конденсации, имеющему номер k. Основная проблема состоит в распределении лакун и отрезков конденсации возможных порядков полных Д. г., определении для последних самих Д. г. и соответствующих им лакунарных пространств. Этот вопрос тесно связан с исследованием степеней подвижности твердых тел.

Полную Д. г. порядка n(n+l)/2 допускает лишь риманово пространство постоянной кривизны. Во всяком другом случае Д. г. пространства имеет меньшее число параметров. Многообразие аффинной связности допускает полную Д. г. (порядка n(n+l)) тогда и только тогда, когда связность симметрична, а кривизна равна нулю; при этом Д. г. является общей линейной группой.

Лит.:[1] Егоров И. П., в кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967, с. 375-428; [2] его же, Движения в пространствах аффинной связности, Казань, 1965; [3] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967.

И. П. Егоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985