Математическая энциклопедия - финитно аппроксимируемая полугруппа

резидуально конечная полугруппа,полугруппа, для любых двух различных элементов аи bк-рой существует такой ее гомоморфизм j в конечную полугруппу S, что Свойство полугруппы Sбыть Ф. а. п. эквивалентно тому, что .подпрямое произведение конечных полугрупп. Финитная аппроксимируемость является одним из важных условий конечности (см. Полугруппа с условием конечности);оно тесно связано с алгоритмическими проблемами:если S - конечно определенная Ф. а. п., то в ней алгоритмически разрешима проблема равенства слов.

Ф. а. п. будут свободные полугруппы, свободные коммутативные полугруппы, свободные n-ступенно нильпотентные полугруппы, свободные инверсные полугруппы (как алгебры с двумя операциями), полурешетки, конечно порожденные коммутативные полугруппы [1], конечно порожденные полугруппы матриц над нильпотентным или коммутативным кольцом, конечно порожденные n-ступенно нильпотентные в смысле Мальцева (см. Нильпотентная полугруппа )регулярные полугруппы [4], см. также Финитно аппроксимируемая группа.

Прямое произведение, свободное произведение, ординальная сумма (см. Связка полугрупп),0-прямое объединение произвольного множества Ф. а. п. сами будут Ф. а. п. Другие конструкции, вообще говоря, не сохраняют финитную аппроксимируемость. Идеальное расширение Ф. а. п. Sпри помощи произвольной Ф. а. п. будет Ф. а. п., если, напр., Sредуктивная, т. е. любые два различных элемента из Sиндуцируют различные левые и различные правые внутренние сдвиги, в частности, если Sс сокращением или инверсная. Полурешетка нек-рого семейства редуктивных Ф. а. п. будет Ф. а. п.

Если S - Ф. а. п., то все ее максимальные подгруппы финитно аппроксимируемы. Для нек-рых типов полугрупп указанное необходимое условие будет и достаточным; таковы; регулярные полугруппы с конечным числом идемпотентов в каждом главном факторе [2], клиффордовы инверсные полугруппы, вполне 0-простые полугруппы с конечным числом или классов (см. Грина отношения эквивалентности). Для ряда классов полугрупп описание Ф. а. п. в них получено в терминах, не использующих редукцию к максимальным подгруппам.

Несколькими способами описаны многообразия, состоящие из Ф. а. п. [3]. Одно из таких описаний следующее. Пусть L, R, N, I - двухэлементные полугруппы левых нулей, правых нулей, с нулевым умножением и пол у решетка соответственно, Р трехэлементная полугруппа { е, р,0}, где е ²=е, ер=р, остальные произведения равны 0, а Р*полугруппа, антиизоморфная Р. Многообразие Мсостоит из Ф. а. п. тогда и только тогда, когда Мпорождается подмножеством одного из следующих трех множеств: {L, R, N, I, G}, {R, Р, С}, {L, Р*, С},где G - конечная группа с абелевыми силовскими подгруппами, С - конечная циклич. группа.

Лит.:[1] Мальцев А. И., лУч. зап. Ивановского пел. ин-та

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985