Математическая энциклопедия - фредгольма теоремы

для интегральных уравнений:

Теорема 1. Однородное уравнение

и союзное с ним уравнение

при фиксированном значении параметра имеют либо лишь тривиальные решения, либо одинаковое конечное число линейно независимых решений:

Теорема 2. Для разрешимости неоднородного уравнения

необходимо и достаточно, чтобы его правая часть была ортогональна полной системе линейно независимых решений соответствующего однородного союзного уравнения (2):

Теорема 3 (альтернатива Фредгольма). Либо неоднородное уравнение (3) разрешимо, какова бы ни была его правая часть f, либо соответствующее однородное уравнение (1) имеет ненулевые решения.

Теорема 4. Множество характеристических чисел уравнения (1) не более чем счетно, с единственной возможной предельной точкой на бесконечности.

Для справедливости Ф. т. в функциональном пространстве L2(a, b )достаточно, чтобы ядро . уравнения (3) было интегрируемым с квадратом на множестве [ а, b][ а, b]( а, b могут быть и бесконечными). Когда это условие нарушается, уравнение (3) может оказаться нефредголъмовым интегральным уравнением. Когда параметр и функции, участвующие в уравнении (3), принимают комплексные значения, тогда взамен союзного уравнения (2) часто рассматривают сопряженное к (1) уравнение

В этом случае условие (4) заменяется условием

Теоремы доказаны Э. Фредгольмом [1].

Лит.:[1] Frеdhоlm Е.I., лActa math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985