Математическая энциклопедия - фредгольма ядро

1) Ф. я.функция К( х, у), определенная на и порождающая вполне непрерывный оператор

где измеримое множество в n-мерном евклидовом пространстве, а Е, Е1 - нек-рые функциональные пространства. Оператор (*) наз. интегральным оператором Фредгольма из Ев Е 1. Важным классом Ф. я. являются измеримые на функции К( х, у )такие, что

Ф. я., удовлетворяющее этому условию, наз. также L2 -ядром.

Ф. я. иаз. вырожденным, если оно представляет сумму произведений функции только от хна функцию только от у:

Если для почти всех имеет место равенство К( х, у) =К( у, х), то Ф. я. наз. симметричным, а если эрмитовосимметричным (здесь черта означает переход к комплексно сопряженному значению). Ф. я. К( х, у )наз. кососимметричным, если

Ф. я. К( х, у )и К( у, х )наз. транспонированными или союзными, а ядра К( х, у )и сопряженными.

Лит.:[1] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 6 изд., т. .4, ч. 1, М., 1974.

Б. В. Хведелидзе.

2) Ф. я. двухвалентный тензор, порождающий оператор Фредгольма. Пусть Еи F-локально выпуклые пространства, - пополнение тензорного произведения этих пространств в индуктивной топологии, т. е. в самой сильной локально выпуклой топологии, при к-рой непрерывно каноническое билинейное отображение Элемент наз. Ф. я., если он может быть представлен в виде

где -суммируемая числовая последовательность, а { е i}и {fi} последовательности элементов нек-рых полных выпуклых закругленных ограниченных множеств в Еи Fсоответственно. Пусть Есовпадает с сопряженным пространством G' к нек-рому локально выпуклому пространству G. Тогда Ф. я. порождает оператор Фредгольма имеющий вид

где <x, е i> значение функционала на элементе Если Еи F банаховы пространства, то любой элемент из является Ф. я.

Понятие Ф. я. допускает обобщение и на случай тензорного произведения нескольких локально выпуклых пространств. Ф. я. и операторы Фредгольма составляют естественную область применения теории Фредгольма.

Лит.:[1] Гротендик А., лМатематика

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985