Математическая энциклопедия - фредгольма уравнение

численные методы решения методы приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода, сводящиеся к выполнению конечного числа действий над числами.

Пусть

интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, где комплексное число, f(х) известная вектор-функция, искомая вектор-функция, К( х, s) ядро уравнения (1), D область в нек-ром m-мерном евклидовом пространстве. Ниже предполагается, что но принадлежит спектру интегрального оператора с ядром К(т. е. при данном уравнение (1) имеет единственное решение в нек-ром функциональном классе, соответствующем гладкости K). Выражение (1) естественно включает случай системы Ф. у.

Для общего описания проблем конструирования и исследования численных методов решения Ф. у. 2-го рода используется язык функционального анализа. Интегральное уравнение (1) можно записать как линейное операторное уравнение

где -искомый элемент нек-рого банахова пространства Ф, f заданный элемент пространства Ф, А - линейный ограниченный оператор из Ф в Ф. Оператор Предполагается действующим обратимо из Ф в Ф. Схема любого численного метода решения уравнения (1) состоит в следующем. Пусть вообще говоря, отличное от Ф банахово пространство, нек-рым образом связанное с Ф, -линейный оператор из в Уравнение

наз. аппроксимирующим уравнением для (2). Обычно аппроксимирующий оператор подбирается так, чтобы либо было возможно непосредственное вычисление из (3), либо (более общо) можно было бы найти приближенное решение (3) вида

так, чтобы правую часть (4) можно было вычислить за конечное число арифметич. действий. Выражение означает проведение нек-рых действий над и в частности может быть просто операторной функцией от (напр., Выбор а также пространства прежде всего подчинен требованию близости (в каком-либо смысле) и точного решения уравнения (1), (2) и, вообще говоря, неоднозначен. Точно также для конкретного численного метода (конкретной формулы аппроксимации для А)выбор пространства также неоднозначен. Конкретный выбор Ф и диктуется требованиями лблизости" и также удобствами исследования. Специфика численных методов решения Ф. у. 2-го рода заключена в основном именно в той или иной конкретной аппроксимации оператора Апри помощи Поэтому обычно способ аппроксимации и дает название тому или иному методу численного решения уравнения (1), После того как выбраны близость и устанавливается с помощью теорем общей теории приближенных методов решения операторных уравнений.

В случае для установления близости и достаточно показать, что мала. При подходящем выборе Ф это удается сделать для большинства классич. методов приближенного решения Ф. у. 2-го рода.

В большинстве конкретных методов решение уравнения (3) легко редуцируется к решению системы линейных алгебраич. уравнений; для построения в (4) можно воспользоваться нек-рым алгоритмом решения систем линейных алгебраич. уравнений (см. Линейная алгебра;численные методы).

Основные способы построения аппроксимирующих операторов:

Методы квадратурных сумм и их обобщения являются наиболее распространенными методами аппроксимации интегрального оператора Ав уравнении (1). Основной из этих методов, применение к-рого возможно в случае непрерывных К(x, s). и f(x), состоит в замене интеграла (по s) в (1) какой-либо квадратурной формулой по сетке узлов

При этом

где коэффициенты квадратурной формулы.

Аппроксимирующее уравнение (3) можно рассматривать как операторное в том же самом пространстве, что и основное уравнение (1) (напр., в пространстве C(D)непрерывных вектор-функций на D). В этом случае оно будет иметь вид

Уравнение (6) редуцируется к системе линейных алгебраич. уравнений относительно

Решение (точное или приближенное) системы (7) дает

Иногда само уравнение (7) считают аппроксимирующим уравнение (1), тогда уравнение (7) соответствует уравнению (3).

При таком подходе пространство не совпадает с Ф. Пространство можно, напр., естественно отождествить с факторпространством Ф по подпространству функций из Ф, обращающихся в нуль в точках {si}, i=1, ..., N. Метод (5) допускает различные обобщения, к-рыми удобно пользоваться, напр., в случае разрывных К( х, и). В этих обобщенных методах оператор имеет вид

где -функции, связанные с ядром К( х, s).

См. также Квадратурных сумм метод.

Методы замены ядра на близкое используют аппроксимирующий оператор вида

где -нек-рая функция, близкая к К, но более просто устроенная. Чаще всего -вырожденное ядро, т. е.

Уравнение (3) в данном случае интегральное Ф. у. с вырожденным ядром. Его решение сводится к решению системы линейных алгебраич. уравнений. Однако элементы матрицы полученной системы уравнений будут выражаться интегралами от известных функций и при численном решении их, вообще говоря, нужно аппроксимировать квадратурными суммами.

Существует много способов конкретного выбора по формуле (8) (см., напр., полос метод). Теоретич. исследование близости решений уравнений (3) и (1) в этих методах обычно значительно проще, чем, напр., в методах квадратурных сумм, т. к. в большинстве случаев можно положить и выбор Ф естественно определяется непосредственно постановкой задачи. Близость и К, как правило, обеспечивает близость Аи по норме Ф. Однако практич. реализация этих методов в большинстве случаев значительно более трудоемка по сравнению с методами квадратурных сумм и их обобщениями.

Проекционные методы приводят к аппроксимирующему уравнению (3) вида причем -подпространство Ф и Р- проектор на это подпространство. Произвол в выборе Ф, и даже самого Рприводит к многочисленным конкретным проекционным методам решения интегральных Ф. у. 2-го рода. Типичным примером проекционного метода является Галеркина метод. Для получения конкретных расчетных формул этого метода нужно (если это возможно) интегральное уравнение (1) трактовать как операторное уравнение в гильбертовом пространстве L2(D) функций, интегрируемых с квадратом в D, и взять в качестве . ортопроектор, сопоставляющий функции из L2(D) N -членный отрезок ее ряда Фурье по нек-рой полной ортонормальной в L2 (D)системе функций

В другой интерпретации метод Галеркина эквивалентен методу замены ядра на вырожденное вида

с одновременной заменой правой части на близкую к ней:

Другим важным примером проекционных методов может служить коллокаций метод (совпадений метод). Если К( х, s )и f(х) - непрерывные функции, то уравнение (1) можно рассматривать как операторное (2) в пространстве С(D) - пространстве непрерывных функций на D. Метод коллокаций соответствует выбору Рв виде

где Z - интерполяционный полином Лагранжа, построенный по нек-рой сетке умов в D.

При практич. реализации большинства проекционных методов в применении к интегральным Ф. у. 2-го рода возникают трудности дополнительной аппроксимации появляющихся интегралов, что и делает эти методы (так же как и методы замены ядра на близкое) обычно более трудоемкими по сравнению с типичными методами квадратурных сумм. Однако это утверждение условно, так как сама классификация методов является условной. Напр., метод коллокаций можно интерпретировать как проекционный метод и как обобщенный метод квадратурных сумм.

Методы решения аппроксимирующих уравнений. Обычно решение аппроксимирующего уравнения (3) сводится к решению системы линейных алгебраич. уравнений. Методами последовательных приближений можно пользоваться (простейшими из них) при относительно малой неличине а при должной их модификации (напр.. при методе осреднения функциональных поправок) ими можно пользоваться при любых не принадлежащих спектру интегрального оператора А.

Получение последовательности уточняющих приближений. При теоретич. исследовании того или иного численного метода в большинстве случаев удаутся установить только сам факт сходимости приближений или к решению (1), (2) при сходимости к Ав каком-либо смысле, и весьма редко удается получить эффективные оценки близости или к решению (1), (2). Для контроля точности на практике используют последовательность приближенных решений уравнения (3) с уточняющимся оператором . В простейшем варианте контроля сравнивают два соседних члена в этой последовательности приближенных решений и прекращают дальнейшее получение приближений при совпадении двух предыдущих с заданной точностью. Громоздкость непосредственного получения членов такой последовательности частично преодолевается в разнообразных алгоритмах итеративного уточнения приближенного решения. Типичным примером подобных алгоритмов является следующий. Если последовательность {An} приближенных операторов сходится по норме какого-либо банахова функционального пространства Ф к Ав (2), то итеративная процедура

дает сходящуюся к последовательность приближений если fn по норме сходится к f и А 0 достаточно близок по норме к А. При использования последовательности (9) требуется только одно обращение оператора. Сходимость ее тем лучше, чем ближе А 0 к A по норме. Удобен, напр., выбор операторов в виде (5). При нек-рых требованиях на ядро можно в этом случае установить равномерную сходимость к в D.

А. Б. Бакушинский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985