Математическая энциклопедия - фукса уравнение

уравнение класса Фукса линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение в комплексной области

с аналитич. оэффициентами, все особые точки к-рого на Римана сфере являются регулярными особыми точками. Для того чтобы уравнение (1) принадлежало классу Фукса, необходимо и достаточно, чтобы его коэффициенты имели вид

где z1, ..., zk - различные точки, qj(z) многочлен степени Система w'=A(z)wиз пуравнений принадлежит классу Фукса, если она имеет вид

где z1, ..., zk - различные точки, постоянные матрицы порядка Особыми для уравнения (1) и системы (2,) являются точки z1, ..., zk, оо (бесконечность). Для Ф. у. (1) справедливо тождество Фукса:

где -характеристич. показатели в точке zm, а -в точке Ф. у. (и системы) наз. также регулярными уравнениями (системами). Этот класс уравнений и систем был введен Л. Фуксом [1].

Пусть Dсфера Римана с проколами в точках z1, ..., zk, Любое нетривиальное решение Ф. у. (1) (соответственно любая компонента решения системы (2)) есть аналитическая в области Dфункция. Как правило, эта функция бесконечнозначна, а все особые точки уравнения (1) (системы (2)) являются ее точками ветвления бесконечного порядка.

Ф. у. 2-го порядка с особыми точками имеет вид

где Qk-2 (z) многочлен степени k-2. Преобразование переводит Ф. у. в Ф. у., причем

а характеристич. показатели в остальных особых точках не меняются. С помощью таких преобразований уравнение (3) приводится к виду

Ф. у. 2-го порядка, имеющее Nособых точек, полностью определяется заданием характеристич. показателей в этих точках тогда и только тогда, когда N<4. С помощью дробно-линейного преобразования уравнение приводится к виду: a) N=1,б) N=2, (Эйлера уравнение); в) N=3 Папперица уравнение (или уравнение Римана).

Матричное Ф. у. имеет вид

где z1, ..., zk различные точки, W- матрица-функция порядка -постоянные матрицы. Матрица U т наз. дифференциальной подстановкой в точке zm. Пусть простая замкнутая кривая с началом в неособой точке b, положительно ориентированная и содержащая внутри себя только одну особую точку zm. Если W(z)голоморфное в точке bрешение уравнения (4), то при аналитич. родолжении вдоль где V т - постоянная матрица, наз. интегральной подстановкой в z т. А. Пуанкаре (Н. Poincare, см. [2]) поставил для систем вида (4) задачу, к-рая наз. прямой регулярной задачей Пуанкаре. Она состоит из следующих трех задач:

A) представление решения W(z)во всей области его существования;

Б) построение интегральных подстановок в точках 2m;

B) аналитич. характеристика особенностей решений.

В частности, решение задачи Б) позволяет построить группу монодромии уравнения (4). Решение задачи Пуанкаре было получено И. А. Лаппо-Данилевскйм [3]. Пусть

гиперлогарифмы:

W0(z) элемент (росток) в точке Ь решения уравнения (4), нормированный условием W0(b)=I и W(z) - аналитическая в области . матрица-функция, порожденная этим элементом. Тогда W(z)есть целая функция от матриц U1 ,. . ., Uk и разлагается в ряд

к-рый сходится равномерно по z на любом компакте Интегральная подстановка Vm в точке zm, отвечающая решению W(z), есть целая функция от матриц U1...., Uk и разлагается в ряд

где Pj выражаются через гиперлогарифмы (см. [3], [6]).

Получены также формулы, дающие решение задачи В) (см. [3]).

Лит.:[1] Fuchs L., лJ. reine und angew. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985