Математическая энциклопедия - галуа теории обратная задача

задача построения конечного нормального расширения для данного поля kс заданной Галуа группой (см. Галуа теория), а также выяснения условий, обеспечивающих существование или отсутствие такого расширения над полем k.

Если kесть поле рациональных чисел, то эта задача превращается в задачу построения нормального поля алгсбраич. чисел с заданной группой Галуа и "водится к отысканию алгебраич. уравнения над kс данной группой Галуа. Такие уравнения существуют для любой симметрической группы, а также для знакопеременной группы. Конструктивно уравнения со знакопеременными группами построены И. Шуром (I. Schur), в частности показано, что уравнения вида

(отрезки разложения показательной функции) имеют при (mod 4) группой Галуа знакопеременную группу, а в остальных случаях симметрическую группу.

Существование расширения поля алгебраич. чисел с любой разрешимой группой G в качестве группы Галуа доказано И. Р. Шафаревичем [2] с использованием арифметич. свойств полей алгебраич. чисел. В качестве решения Кможно выбрать такое поле, что дискриминант Кнад полем алгебраич. чисел взаимно прост с любым наперед заданным целым числом, и, следовательно, решений данной задачи бесконечно много.

Рассмотрение групп Галуа бесконечных расширений данного поля (см. Галуа топологическая группа).дает возможность решать Г. т. о. з. сразу для множества однотипных полей: конечных, локальных, полей алгебраич. функций от одной переменной.

Лит.:[1] Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, ч. 1, М.-Л., 1934; [2] Шафаревич И. Р., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1954, т. 18, № 2, .с. 261-96; № 3, с. 525-78.

С. П. Демушкин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985