Математическая энциклопедия - галуа теория колец

обобщение результатов теории Галуа полей на случай ассоциативных колец с единицей. Пусть А - ассоциативное кольцо с единицей, Н - некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов кольца А, N - подгруппа группы Н,

. Тогда подкольцо кольца А. Пусть подкольцо кольца А . Говорят, что автоморфизм hкольца Асоставляет кольцо поэлементно инвариантным, если для всех . Множество всех таких автоморфизмов обозначается . Пусть

Основной объект изучения Г. к. т.соответствия:

В отличие от теории Галуа полей (даже в том случае, когда группа Нконечна) здесь не всегда выполняется равенство G(B1) = H(B1), а соответствия 1), 2) и 1), 3) не обязаны быть взаимно обратными. Поэтому представляет интерес выделение таких семейств подколец и семейств подгрупп, для к-рых справедлив аналог теоремы о соответствиях Галуа. В двух случаях эта задача получила удовлетворительное решение. Первый из них характеризуется требованием "близости" свойств кольца А к свойствам поля (напр., А - тело или полное кольцо линейных преобразований векторного пространства над телом), второй требованием "близости" строения кольца Анад подкольцом Вк строению соответствующей пары в случае, когда А - поле (напр., .В-модуль проективен).

Пусть с - обратимый элемент кольца Аи автоморфизм кольца А, определяемый равенством

подалгебра алгебры А, порожденная обратимыми элементами , для которых Группа Нназ. N группой, если для всех обратимых . Если А - тело, В - его подтело, причем , А - конечномерное левое векторное пространство над В, то соответствия Галуа и являются обратными друг к другу где Нпринадлежит множеству всех N-подгрупп группы G(B),a D- множеству всех подтел тела Л, содержащих тело В.

Аналогичный результат справедлив и в том случае, когда А - полное кольцо линейных преобразований (однако соответствующая система условий, выделяющая семейства подгрупп и семейства подколец, формулируется несколько сложнее).

Пусть далее А - коммутативное кольцо без нетривиальных идемпотентов и . Кольцо Аназ. конечным нормальным расширением кольца В, если и Аконечно порожденный B-модуль. Кольцо Аможно рассматривать как -модуль, полагая

где . Кольцо Аназ. сепарабельной В-алгеброй, если А - проективный модуль. Если А - конечное нормальное сепарабельное расширение кольца В, то А - конечно порожденный проективный fi-модуль, группа G(B).конечна и отображения , задают взаимно обратные соответствия между множеством всех подгрупп группы G(B).и множеством всех сепарабельных B-подалгебр алгебры А.

Всякое кольцо Вобладает сепарабельным замыканием, являющимся аналогом сепарабельного замыкания поля. Группа всех автоморфизмов этого замыкания, оставляющих кольцо Впоэлементно инвариантным, оказывается, в общем случае, проконечной группой. Соответствия 1) и 2) являются взаимно обратными на множестве всех замкнутых подгрупп полученной группы и на множестве всех сепарабельных В-подалгебр сепарабельного замыкания кольца В.

Аналогичные результаты справедливы и в том случае, когда кольцо Всодержит нетривиальные идемпо-тенты. При этом, однако, ряд основных понятий подвергается существенному изменению. Напр., роль группы Галуа G(B).играет фундаментальный группоид. Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] Сhase S. U., Swed1еr М. Е., Hopf algebras and Galois theory, В.Hdlb.N. У., 1969; [3] De Меуеr F., Ingraham E., Separable algebras over commutative rings, В.Hdlb.-N. Y., 1971; [4] Magid A. R., The separable Galois theory of commutative rings, N. Y., 1974.

К. И. Бейдар, А. В. Михалев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985