Математическая энциклопедия - галуа поле

конечное поле,поле, число элементов к-рого конечно. Г. п. впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 47).

Число элементов любого Г. п. есть степень нек-рого натурального простого числа , являющегося характеристикой этого поля. Для любого натурального простого р и любого натурального псуществует (и единственно, с точностью до изоморфизма) поле из элементов. Оно обозначается или . Поле содержит в качестве подполя поле в том и только в том случае, когда тделится на п. В частности, в любом поле содержится поле , наз. простым полем характеристики р. Поле изоморфно полю классов вычетов кольца целых чисел по простому модулю р. В любом фиксированном алгебраическом замыкании поля существует точно одно подполе для каждого п. Соответствие является изоморфизмом между решеткой натуральных чисел относительно делимости и решеткой конечных алгебраич. расширений поля , лежащих в , относительно включения. Такова же решетка множества конечных алгебраич. расширений любого Г. п., лежащих в его фиксированном алгебраич. замыкании.

Алгебраич. расширение является простым, т. е. существует примитивный элемент такой, что Таким будет любой корень каждого неприводимого многочлена степени пиз кольца . Число примитивных элементов расширения равно

где Мёбиуса функция. Аддитивная группа поля естественным образом наделяется структурой n-мерного векторного пространства над . В качестве базиса можно взять . Ненулевые элементы поля образуют мультипликативную группу порядка , т. е. каждый элемент из является корнем многочлена

Группа циклическая, ее образующие первообразные корни из единицы степени число К-рых равно где Эйлера функция. Каждый первообразный корень из единицы степени является примитивным элементом расширения но не наоборот. Точнее, среди

неприводимых унитарных многочленов степени пнад имеется таких, корни к-рых будут образующими для .

Множество элементов поля в точности совпадает с множеством корней многочлена в , т. е. характеризуется как подполе элементов из , инвариантных относительно автоморфизма , наз. автоморфизмом Фробениуса. Если то расширение нормально (см. Расширение поля), его Галуа группа циклическая порядка ml п. В качестве образующей группы может быть взят автоморфизм т.

Лит.:[1] Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936: [2] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976, с. 158-62; [3] Чеботарев Н. Г., основы теории Галуа, М.-Л., 1934, ч. 1, с. 154-62; [4] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965, с. 185-203. А. И. Скопин

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985