Математическая энциклопедия - гаусса сумма

тригонометрическая сумма вида

где числовой характер по модулю д. Г. с. вполне определяется заданием характера и числа а. Г. с. были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1811 в случае простого нечетного q=р и характера , где Лежандра символ. В этом случае

где Исследуя свойства суммы (*) К. Гаусс нашел точное выражение для модуля этой суммы:

Он также решил более трудную задачу определения знака и показал, что

и

К. Гаусс использовал свойства сумм (*) для решения нек-рых задач теории чисел, в частности он применил их в одном из доказательств квадратичного закона взаимности.

Значение Г. с. для теории чисел было выявлено только в 20-е гг. 20 в. В это время Г. Вейль (Н. Weyl) применил для исследования равномерных распределений более общие тригонометрич. суммы, получившие назв. Вейля сумм. В то же время И. М. Виноградов использовал Г. с. для получения оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по модулю р. Г. с. позволяют установить связь между двумя важными объектами теории чисел: между мультипликативными характерами и аддитивными характерами

(ради простоты берется только случай простого модуля р). Множество Fвсех комплекснозначных функций f(x).периода робразует p-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел. Если определить скалярное произведение в F, положив

то функции составят орто-нормированный базис F. При этом

где Таким образом, Г. с. (с точностью до множителя ) являются координатами в разложении мультипликативного характера по аддитивным характерам . Возможность линейного представления любого характера в виде линейной комбинации экспонент , вытекающая из свойств Г. с. общего вида, лежит в основе вывода функционального уравнения для L-функции.

Эти же соображения существенно используются в методе большого решета при переходе от оценок сумм от аддитивных характеров к оценкам сумм от мультипликативных характеров. Г. с. применяются также для представления L-функций в виде конечных сумм. Такое представление используется в задаче о числе классов дивизоров кругового ноля.

Вопрос о знаке Г. с. , принадлежащей квадратичному характеру, может быть поставлен в более общем виде для Г. с., принадлежащей характеру порядка . Так возникает Куммера гипотеза относительно кубических Г. с. по простому модулю (mod 3) и обобщения этой гипотезы на случай k>3.

Лит.: [1] Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956; [2] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [4] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [5] Xассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953.

Б. М. Бредихин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985