Математическая энциклопедия - гауссово число

целое комплексное число а+bi, где аи b - любые целые рациональные'числа. С геометрич. точки зрения Г. ч. образуют на плоскости решетку всех точек с целыми рациональными координатами. Г. ч. впервые были рассмотрены К. Гауссом (С. Gauss) в 1832 в работе о биквадратичных вычетах. Им же были найдены основные свойства множества Г целых комплексных чисел.

Г является кольцом; единицами Г (т. е. делителями единичного элемента) будут 1, 1, i, i, других единиц нет. Простыми (неразложимыми в нетривиальное произведение) числами кольца Г гауссовыми простыми числами будут числа вида

нормы (модули) к-рых есть рациональные простые числа р вида 4n+1 и 4n+3. Примеры простых Г. ч.: 1 + 2i, 3+4i, 3, 7 и др.

Любое число из Г однозначно раскладывается в произведение простых Г. ч. Кольца, характеризующиеся этим свойством, наз. гауссовыми кольцами, или факториальными кольцами.

В теории биквадратичных вычетов Г. ч. явились первым простым и важным примером расширения поля рациональных чисел.

Лит.:[1] Карл Фридрих Гаусс. Сб. статей, М., 1956.

В. М. Бредихин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985