Математическая энциклопедия - градиентное преобразование

преобразование в классической и квантовой теории поля, к-рое изменяет характеристики поля, не являющиеся наблюдаемыми (напр., потенциалы поля), и не меняет при этом имеющие физич. смысл наблюдаемые величины (напр., напряженности поля). Название "Г. п." возникло в классич. теории электромагнитного поля, где 4-мерный вектор электромагнитного потенциала , вводится в теорию неоднозначным образом, поскольку так наз. Г. п. 2 го рода:

с произвольной функцией f(x), обладающей частными производными 1-го и 2-го порядков, не сказываются на значениях компонент антисимметричного тензора электромагнитного ноля

к-рые равны физически наблюдаемым компонентам векторов напряженности электрич. поля и магнитного поля При Г. п. 2-го рода остаются неизменными уравнения поля

т. е. имеет место свойство так наз. градиентной инвариантности теории поля. С помощью соответствующего выбора функции /(.г) можно добиться выполнения для Ак.-л. дополнительного условия, к-рое наз. условием калибровки, что позволяет упростить вид уравнений поля. Напр., линейное относительно потенциала Аусловие Лоренца равенство нулю 4-мерной дивергенции

приводит к уравнению Д'Аламбера для (см. Д'Аламбера оператор)

Условие Лоренца не определяет полностью потенциал Л, так как в теории остается инвариантность относительно так наз. специализированного Г. п.

2-го рода (1) с функцией , удовлетворяющей уравнению Д'Аламбера: . Однако при определенном выборе (так наз. лоренцева система отсчета) можно добиться выполнения условия . При этом условие Лоренца (2) сводится к условию для 3-мерного вектор-потенциала, т. е. к условию поперечности электромагнитного поля. В случае комплексных полей должна иметь место также инвариантность теории относительно Г. п. 1-го рода для волновых функций

поля и их производных так как все наблюдаемые динамич. величины в силу условия действительности (эрмитовости) должны выражаться только через действительные билинейные относительно Ф* и Ф формы. Условие инвариантности теории поля относительно Г. п. 1-го рода в силу общих принципов механики означает существование нек-рых сохраняющихся наблюдаемых физич. величин зарядов, к-рые выражаются через функции поля, или, иначе говоря, существование законов сохранения этих зарядов. Соответствующие лагранжианы и уравнения поля должны быть инвариантны относительно Г. п., иначе называемых калибровочными преобразованиями. Напр., в случае взаимодействующих с электромагнитным полем комплексных полей , соответствующих частицам, обладающим элект-рич. зарядом, лагранжианы свободных полей и лагранжиан взаимодействия и уравнения поля должны быть инвариантны относительно калибровочных преобразований вида

т. е. относительно Г. п. (1) и (4), где фазовый множитель в (4) может зависеть от 4-мерных координат пространства-времени и должен совпадать с произвольной скалярной функцией, входящей в (1). В этом случае в системе полей и выполняется закон сохранения электрич. заряда. Калибровочные преобразования (5) образуют абелеву группу преобразований в том смысле, что калибровочная функция описывает калибровочное преобразование, представляющее собой два калибровочных преобразования с функциями , произведенных в любой последовательности. При построении более общих, чем рассмотренный пример, теорий взаимодействующих полей для выполнения соответствующих законов сохранения тех или иных зарядов необходимо требовать инвариантности лагранжианов и уравнений поля относительно неабелевых калибровочных преобразований, в к-рых калибровочные функции f(x).должны быть операторами.

Лит.:[1] Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, М., 1957. В. Д. Кукин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985