Математическая энциклопедия - кавагути пространство

гладкое n-мерное многообразие Vn, в к-ром элемент дуги ds регулярной кривой x=x(t),выражается формулой:

причем метрическая функция Fподчиняется условиям Цермело:

где

Условия (2) обеспечивают независимость элемента дуги ds от параметризации кривой x=x(t).

Общая теория К. п. впервые изложена А. Кавагути (см. [1]). Основанием для рассмотрения К. п. послужило то, что элементы дуги вида (1) встречались в различных однородных пространствах (напр., афинная дуга, проективная дуга). Впоследствии было установлено (см. [2]), что в любом однородном пространстве существует инвариантная метрика Кавагути (1), группа автоморфизмов к-рой совпадает с группой преобразований однородного пространства. Основы общей теории К. п. развивались на формальном пути обобщения тензорного аппарата и параллельного перенесения. А. Кавагути в качестве основного пространства рассматривал расслоенное пространство, базой к-рого является пространство линейных элементов ( х ⁱ, x^(s)i), s=l,2,. . ., q, порядка q=2p1, а слоями n-мерные векторные пространства Т ⁿ, касательные к Vn. Ковариантное дифференцирование контравариантных векторов Vⁱ(x^k, x^(s)k) определяется с помощью операторов ковариантного дифференцирования

где зависят от линейного элемента порядка q=2р-1. Эти операторы могут быть построены с помощью трехкратного продолжения метрич. функции и определяемого ею метрич. тензора qij, зависящего также от линейного элемента порядка 2р-1. Так, построенная общая теория К. п. не получила глубокого развития отчасти ввиду того, что порядок qбазисного пространства линейных элементов оказался выше, чем порядок рпространства, на к-ром задана метрич. функция Fи на к-ром должны определяться все дифференциальные инварианты К. п.

Другие возможности исследования К. п. основаны на современной теории расслоенных пространств, теории струй и теории нелинейных связностей. На этом пути с применением дифференциально-алгебраич. метода продолжений и охватов для широкого класса К. п. найдена нек-рая редуктивная линейная связность в подходящим образом подобранном расслоенном пространстве, базой к-рого служит пространство линейных элементов порядка р. Структурные уравнения форм этой связности дают полную систему тензорных инвариантов К. п., на основе к-рой формулируются инвариантные признаки нек-рых важных классов К. п.

В дифференциальной геометрии обобщенных пространств большое место занимает исследование специальных К. п. с метрикой вида

где А i и Вфункции х ⁱ и х'ⁱ, что сближает такие пространства с финслеровыми пространствами. В этом случае общая теория А. Кавагути оказывается неприменимой, так как метрич. тензор gij становится вырожденным. Поэтому вводится несимметрич. тензор

к-рый в общем случае не вырожден. В отличие от таких пространств, К. п. общего типа представляют собой дифференциально-геометрич. структуру высшего порядка. Изучение К. п. служит также для поиска геометрич. подходов к исследованию вариационной задачи для интегралов вида

Лит.:[1] Кawguсhi A., "Proc. Imp. Acad. Tokyo", 1937, v. 13, p. 237-40; [2] Лосик М. В., в кн.: Тр. семинара по векторному и тензорному анализу, 1963, в. 12, с. 213-37; [3] Близникас В. И., в кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1967, М., 1969, с. 73-125.

Л. Е. Евтушик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985